Question Number 58827 by jimful last updated on 30/Apr/19
$$\mathrm{Find}\:\:\sum_{\mathrm{x}=\mathrm{1}} ^{\infty} \left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}−\mathrm{sin}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}\right)\right) \\ $$$$ \\ $$
Commented by tanmay last updated on 30/Apr/19
$${taking}\:{the}\:{help}\:{of}\:{graph}\:{we}\:{can}\:{find}\:{the}\:{value} \\ $$
Commented by jimful last updated on 01/May/19
$$\mathrm{thanks}.\:\mathrm{I}\:\mathrm{need}\:\mathrm{to}\:\mathrm{learn}\:\mathrm{more} \\ $$
Commented by maxmathsup by imad last updated on 30/Apr/19
$${we}\:{have}\:{sinx}\:=\sum_{{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} {x}^{\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}} }{\left(\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}\right)!}\:={x}−\frac{{x}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{3}!}\:+\frac{{x}^{\mathrm{5}} }{\mathrm{5}!}\:−…\:\Rightarrow \\ $$$${x}−\frac{{x}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{6}}\:\leqslant\:{sinx}\:\leqslant{x}\:\Rightarrow\:\frac{\mathrm{1}}{{x}}\:−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}{x}^{\mathrm{3}} }\:\leqslant\:{sin}\left(\frac{\mathrm{1}}{{x}}\right)\leqslant\frac{\mathrm{1}}{{x}} \\ $$$$\:\Rightarrow\:−\frac{\mathrm{1}}{{x}}\:\leqslant−{sin}\left(\frac{\mathrm{1}}{{x}}\right)\leqslant−\frac{\mathrm{1}}{{x}}\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}{x}^{\mathrm{3}} }\:\Rightarrow\mathrm{0}\leqslant\:\frac{\mathrm{1}}{{x}}\:−{sin}\left(\frac{\mathrm{1}}{{x}}\right)\:\leqslant\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}{x}^{\mathrm{3}} }\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{0}\leqslant\:\sum_{{x}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\left(\frac{\mathrm{1}}{{x}}\:−{sin}\left(\frac{\mathrm{1}}{{x}}\right)\right)\:\leqslant\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}\:\sum_{{x}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\:\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{3}} }\:\Rightarrow\:\mathrm{0}\leqslant\:{S}\:\leqslant\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}\xi\left(\mathrm{3}\right)\:… \\ $$
Answered by tanmay last updated on 30/Apr/19
$${f}\left({x}\right)=\frac{\mathrm{1}}{{x}}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:{f}\left(\mathrm{1}\right)=\mathrm{1} \\ $$$${g}\left({x}\right)={sin}\left(\frac{\mathrm{1}}{{x}}\right)\:\:\:\:\:\:{g}\left(\mathrm{1}\right)={sin}\left(\mathrm{1}\right)=\mathrm{0}.\mathrm{841} \\ $$$${f}\left(\mathrm{1}\right)−{g}\left(\mathrm{1}\right)=\mathrm{1}−\mathrm{0}.\mathrm{841}=\mathrm{0}.\mathrm{159} \\ $$$$ \\ $$$${f}\left(\mathrm{2}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}=\mathrm{0}.\mathrm{5} \\ $$$${g}\left(\mathrm{2}\right)={sin}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)=\mathrm{0}.\mathrm{479} \\ $$$${f}\left(\mathrm{2}\right)−{g}\left(\mathrm{2}\right)=\mathrm{0}.\mathrm{5}−\mathrm{0}.\mathrm{479}=\mathrm{0}.\mathrm{021} \\ $$$$ \\ $$$$\bigtriangleup={f}\left({x}\right)−{g}\left({x}\right) \\ $$$${thus}\:{we}\:{see}\:{as}\:{we}\:{increase}\:{the}\:{value}\:{of}\:{x}\: \\ $$$$\bigtriangleup\rightarrow\mathrm{0} \\ $$$${so}\:\underset{{x}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{{x}}−{sin}\left(\frac{\mathrm{1}}{{x}}\right)=\mathrm{0}.\mathrm{159}+\mathrm{0}.\mathrm{021}+\epsilon \\ $$$$\underset{{x}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\:\frac{\mathrm{1}}{{x}}−{sin}\left(\frac{\mathrm{1}}{{x}}\right)=\mathrm{0}.\mathrm{18}+\epsilon \\ $$$$\epsilon={small}\:{positive}\:{number} \\ $$$${i}\:{have}\:{tried}\:{to}\:{find}\:..{it}\:{is}\:{not}\:{exact}\:{solution} \\ $$$${but}\:{interpretation}\:{of}\:{the}\:{problem}… \\ $$$$ \\ $$