Question Number 29854 by abdo imad last updated on 13/Feb/18
$${find}\:\int_{−\infty} ^{+\infty} \:\:\:\:\:\:\:\frac{\left({x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}\right){dx}}{{x}^{\mathrm{4}} \:+\mathrm{8}{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{16}{x}\:+\mathrm{20}}\:. \\ $$
Commented by abdo imad last updated on 18/Feb/18
$${we}\:{have}\:{proved}\:{that}\:\int_{−\infty} ^{+\infty} \:\:\:\:\frac{{dx}}{{x}^{\mathrm{2}} \:\:+\mathrm{2}{ix}\:+\mathrm{2}−\mathrm{4}{i}}=−\frac{\mathrm{2}\pi}{\mathrm{3}}\:−{i}\frac{\pi}{\mathrm{3}}\:{but} \\ $$$$\:\:\:\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{2}{ix}\:+\mathrm{2}−\mathrm{4}{i}}\:=\:\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{2}\:+{i}\left(\mathrm{2}{x}−\mathrm{4}\right)} \\ $$$$=\:\:\:\:\frac{{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{2}−{i}\left(\mathrm{2}{x}−\mathrm{4}\right)}{\left({x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{2}\right)^{\mathrm{2}} \:+\left(\mathrm{2}{x}−\mathrm{4}\right)^{\mathrm{2}} }=\:\frac{{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{2}}{{x}^{\mathrm{4}} \:+\mathrm{4}{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{4}\:+\mathrm{4}{x}^{\mathrm{2}} \:−\mathrm{16}{x}\:+\mathrm{16}} \\ $$$$\:−{i}\:\frac{\mathrm{2}{x}−\mathrm{4}}{{x}^{\mathrm{4}} \:+\mathrm{4}{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{4}\:+\mathrm{4}{x}^{\mathrm{2}} \:−\mathrm{16}{x}\:+\mathrm{16}} \\ $$$$=\:\frac{{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{2}}{{x}^{\mathrm{4}} \:+\mathrm{8}{x}^{\mathrm{2}} \:−\mathrm{16}{x}+\mathrm{20}}\:−{i}\:\frac{\mathrm{2}{x}−\mathrm{4}}{{x}^{\mathrm{4}} \:+\mathrm{8}{x}^{\mathrm{2}} \:−\mathrm{16}{x}\:+\mathrm{20}}\:\Rightarrow \\ $$$$\int_{−\infty} ^{+\infty} \:\:\frac{{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}}{{x}^{\mathrm{4}} \:+\mathrm{8}{x}^{\mathrm{2}} \:−\mathrm{16}{x}\:+\mathrm{20}}\:=\:\frac{−\mathrm{2}\pi}{\mathrm{3}}\:{and} \\ $$$$\int_{−\infty} ^{+\infty} \:\:\:\:\frac{\mathrm{2}{x}−\mathrm{4}}{{x}^{\mathrm{4}} \:+\mathrm{8}{x}^{\mathrm{2}} \:−\mathrm{16}{x}\:+\mathrm{20}}=\:\frac{\pi}{\mathrm{3}}\:. \\ $$