Question Number 96957 by mathmax by abdo last updated on 05/Jun/20
$$\mathrm{find}\:\int\:\mathrm{x}^{\mathrm{3}} \sqrt{\mathrm{2}−\mathrm{x}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\mathrm{dx} \\ $$
Answered by MJS last updated on 06/Jun/20
![∫x^3 (√(2−x−x^2 ))dx= [t=arcsin ((2x+1)/3) → dx=(√(2−x−x^2 ))dt] =−(9/(32))∫(1−3sin t)^3 cos^2 t dt= =∫(−((243)/(256))sin 5t +((243)/(256))cos 4t +((567)/(512))sin 3t −(9/(64))cos 2t +((405)/(256))sin t −((279)/(256)))dt= ... [this is easy] ((x^4 /5)+(x^3 /(40))−((13x^2 )/(80))+((89x)/(320))−((683)/(640)))(√(2−x−x^2 ))−((279)/(256))arcsin ((2x+1)/3) +C](https://www.tinkutara.com/question/Q96987.png)
$$\int{x}^{\mathrm{3}} \sqrt{\mathrm{2}−{x}−{x}^{\mathrm{2}} }{dx}= \\ $$$$\:\:\:\:\:\left[{t}=\mathrm{arcsin}\:\frac{\mathrm{2}{x}+\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\:\rightarrow\:{dx}=\sqrt{\mathrm{2}−{x}−{x}^{\mathrm{2}} }{dt}\right] \\ $$$$=−\frac{\mathrm{9}}{\mathrm{32}}\int\left(\mathrm{1}−\mathrm{3sin}\:{t}\right)^{\mathrm{3}} \mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \:{t}\:{dt}= \\ $$$$=\int\left(−\frac{\mathrm{243}}{\mathrm{256}}\mathrm{sin}\:\mathrm{5}{t}\:+\frac{\mathrm{243}}{\mathrm{256}}\mathrm{cos}\:\mathrm{4}{t}\:+\frac{\mathrm{567}}{\mathrm{512}}\mathrm{sin}\:\mathrm{3}{t}\:−\frac{\mathrm{9}}{\mathrm{64}}\mathrm{cos}\:\mathrm{2}{t}\:+\frac{\mathrm{405}}{\mathrm{256}}\mathrm{sin}\:{t}\:−\frac{\mathrm{279}}{\mathrm{256}}\right){dt}= \\ $$$$…\:\left[\mathrm{this}\:\mathrm{is}\:\mathrm{easy}\right] \\ $$$$\left(\frac{{x}^{\mathrm{4}} }{\mathrm{5}}+\frac{{x}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{40}}−\frac{\mathrm{13}{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{80}}+\frac{\mathrm{89}{x}}{\mathrm{320}}−\frac{\mathrm{683}}{\mathrm{640}}\right)\sqrt{\mathrm{2}−{x}−{x}^{\mathrm{2}} }−\frac{\mathrm{279}}{\mathrm{256}}\mathrm{arcsin}\:\frac{\mathrm{2}{x}+\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\:+{C} \\ $$
Answered by 1549442205 last updated on 06/Jun/20
![we have −x^2 −x+2=−(x+(1/2))^2 +(9/4).Putting x+(1/2)=u we get dx=du and F=∫(u−(1/2))^3 (√((9/4)−u^2 ))du.Put u=(3/2)cosϕ⇒du=−(3/2)sinϕdϕ.Hence, F=(1/8)∫(3cosϕ−1)^3 .(3/2)sinϕ(−(3/2))sinϕdϕ =−(9/(32))∫(3cosϕ−1)^3 (1−cos^2 ϕ)dϕ= ((−9)/(32))∫(−27cos^5 ϕ+27cos^4 ϕ+18cos^3 ϕ−26cos^2 ϕ+9cosϕ−1)dϕ we have A=∫cos^5 ϕdϕ=∫cos^4 ϕdsinϕ=∫(1−sin^2 ϕ)^2 dsinϕ= ((sin^5 ϕ)/5)−((2sin^3 ϕ)/3)+sinϕ B=∫cos^4 ϕdϕ=∫(((1+cos2ϕ)/2))^2 dϕ=∫((1+2cos2ϕ+cos^2 2ϕ)/4)dϕ=∫(dϕ/4)+∫((cos2ϕ)/2)+∫((1+cos4ϕ)/8)dϕ =(ϕ/4)+((sin2ϕ)/4)+(ϕ/8)+((sin4ϕ)/(32)) C=∫cos^3 ϕdϕ=∫(1−sin^2 ϕ)dsinϕ=sinϕ−((sin^3 ϕ)/3) D=∫cos^2 ϕdϕ=∫((1+cos2ϕ)/2)dϕ=(ϕ/2)+((sin2ϕ)/4). Therefore F=((−9)/(32))[−27A+27B+18C−26D+9∫(cosϕdϕ−∫dϕ] =((243)/(32))(((sin^5 ϕ)/5)−((2sin^3 ϕ)/3)+sinϕ)−((243)/(32))(((3ϕ)/8)+((sin2ϕ)/4)+((sin4ϕ)/(32)))−((162)/(32))(sinϕ−((sin^3 ϕ)/3)) +((234)/(32))((ϕ/2)+((sin2ϕ)/4))−((81)/(32))sinϕ+(9/(32))ϕ) =((279)/(256))ϕ+((243)/(160))sin^5 ϕ−((54)/(16))sin^3 ϕ−(9/(128))sin2ϕ−((243)/(1024))sin4ϕ+C where ϕ=arccos((2x+1)/3)⇒sinϕ=(2/3)(√(−x^2 −x+2)) sin2ϕ=(4/9)(2x+1)(√(−x^2 −x+2)), sin4ϕ=(8/(81))(2x+1)(8x^2 +8x−7)(√(−x^2 −x+2)) second way:∫(3cosϕ−1)^3 sin^2 ϕ=∫(27cos^3 ϕ−27cos^2 ϕ+9cosϕ−1)sin^2 ϕdϕ =∫9cosϕ(3cos^2 ϕ+1)sin^2 ϕdϕ−∫27cos^2 ϕsin^2 ϕdϕ−∫sin^2 ϕdϕ =9∫(4−3sin^2 ϕ)sin^2 ϕdsinϕ−((27)/8)∫(1−cos4ϕ)dϕ −∫((1−cos2ϕ)/2)dϕ =12sin^3 ϕ−((27)/5)sin^5 ϕ−((27ϕ)/8)+((27)/(32))sin4ϕ−(ϕ/2)+((sin2ϕ)/4) Hence,F=−(9/(32))(((−31ϕ)/8)−((27)/5)sin^5 ϕ+12sin^3 ϕ+((sin2ϕ)/4)+((27sin4ϕ)/(32))) with the angle ϕ defined like as above](https://www.tinkutara.com/question/Q96993.png)
$$\mathrm{we}\:\mathrm{have}\:−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{x}+\mathrm{2}=−\left(\mathrm{x}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2}} +\frac{\mathrm{9}}{\mathrm{4}}.\mathrm{Putting}\:\mathrm{x}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}=\mathrm{u} \\ $$$$\mathrm{we}\:\mathrm{get}\:\mathrm{dx}=\mathrm{du}\:\mathrm{and}\:\mathrm{F}=\int\left(\mathrm{u}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{3}} \sqrt{\frac{\mathrm{9}}{\mathrm{4}}−\mathrm{u}^{\mathrm{2}} }\mathrm{du}.\mathrm{Put} \\ $$$$\mathrm{u}=\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\mathrm{cos}\varphi\Rightarrow\mathrm{du}=−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\mathrm{sin}\varphi\mathrm{d}\varphi.\mathrm{Hence}, \\ $$$$\mathrm{F}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}\int\left(\mathrm{3cos}\varphi−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} .\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\mathrm{sin}\varphi\left(−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\right)\mathrm{sin}\varphi\mathrm{d}\varphi \\ $$$$=−\frac{\mathrm{9}}{\mathrm{32}}\int\left(\mathrm{3cos}\varphi−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} \left(\mathrm{1}−\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \varphi\right)\mathrm{d}\varphi= \\ $$$$\frac{−\mathrm{9}}{\mathrm{32}}\int\left(−\mathrm{27cos}^{\mathrm{5}} \varphi+\mathrm{27cos}^{\mathrm{4}} \varphi+\mathrm{18cos}^{\mathrm{3}} \varphi−\mathrm{26cos}^{\mathrm{2}} \varphi+\mathrm{9cos}\varphi−\mathrm{1}\right)\mathrm{d}\varphi \\ $$$$\mathrm{we}\:\mathrm{have}\:\mathrm{A}=\int\mathrm{cos}^{\mathrm{5}} \varphi\mathrm{d}\varphi=\int\mathrm{cos}^{\mathrm{4}} \varphi\mathrm{dsin}\varphi=\int\left(\mathrm{1}−\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \varphi\right)^{\mathrm{2}} \mathrm{dsin}\varphi= \\ $$$$\frac{\mathrm{sin}^{\mathrm{5}} \varphi}{\mathrm{5}}−\frac{\mathrm{2sin}^{\mathrm{3}} \varphi}{\mathrm{3}}+\mathrm{sin}\varphi \\ $$$$\mathrm{B}=\int\mathrm{cos}^{\mathrm{4}} \varphi\mathrm{d}\varphi=\int\left(\frac{\mathrm{1}+\mathrm{cos2}\varphi}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2}} \mathrm{d}\varphi=\int\frac{\mathrm{1}+\mathrm{2cos2}\varphi+\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \mathrm{2}\varphi}{\mathrm{4}}\mathrm{d}\varphi=\int\frac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{4}}+\int\frac{\mathrm{cos2}\varphi}{\mathrm{2}}+\int\frac{\mathrm{1}+\mathrm{cos4}\varphi}{\mathrm{8}}\mathrm{d}\varphi \\ $$$$=\frac{\varphi}{\mathrm{4}}+\frac{\mathrm{sin2}\varphi}{\mathrm{4}}+\frac{\varphi}{\mathrm{8}}+\frac{\mathrm{sin4}\varphi}{\mathrm{32}} \\ $$$$\mathrm{C}=\int\mathrm{cos}^{\mathrm{3}} \varphi\mathrm{d}\varphi=\int\left(\mathrm{1}−\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \varphi\right)\mathrm{dsin}\varphi=\mathrm{sin}\varphi−\frac{\mathrm{sin}^{\mathrm{3}} \varphi}{\mathrm{3}} \\ $$$$\mathrm{D}=\int\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \varphi\mathrm{d}\varphi=\int\frac{\mathrm{1}+\mathrm{cos2}\varphi}{\mathrm{2}}\mathrm{d}\varphi=\frac{\varphi}{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{sin2}\varphi}{\mathrm{4}}. \\ $$$$\mathrm{Therefore}\:\mathrm{F}=\frac{−\mathrm{9}}{\mathrm{32}}\left[−\mathrm{27A}+\mathrm{27B}+\mathrm{18C}−\mathrm{26D}+\mathrm{9}\int\left(\mathrm{cos}\varphi\mathrm{d}\varphi−\int\mathrm{d}\varphi\right]\right. \\ $$$$=\frac{\mathrm{243}}{\mathrm{32}}\left(\frac{\mathrm{sin}^{\mathrm{5}} \varphi}{\mathrm{5}}−\frac{\mathrm{2sin}^{\mathrm{3}} \varphi}{\mathrm{3}}+\mathrm{sin}\varphi\right)−\frac{\mathrm{243}}{\mathrm{32}}\left(\frac{\mathrm{3}\varphi}{\mathrm{8}}+\frac{\mathrm{sin2}\varphi}{\mathrm{4}}+\frac{\mathrm{sin4}\varphi}{\mathrm{32}}\right)−\frac{\mathrm{162}}{\mathrm{32}}\left(\mathrm{sin}\varphi−\frac{\mathrm{sin}^{\mathrm{3}} \varphi}{\mathrm{3}}\right) \\ $$$$\left.+\frac{\mathrm{234}}{\mathrm{32}}\left(\frac{\varphi}{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{sin2}\varphi}{\mathrm{4}}\right)−\frac{\mathrm{81}}{\mathrm{32}}\mathrm{sin}\varphi+\frac{\mathrm{9}}{\mathrm{32}}\varphi\right) \\ $$$$=\frac{\mathrm{279}}{\mathrm{256}}\varphi+\frac{\mathrm{243}}{\mathrm{160}}\mathrm{sin}^{\mathrm{5}} \varphi−\frac{\mathrm{54}}{\mathrm{16}}\mathrm{sin}^{\mathrm{3}} \varphi−\frac{\mathrm{9}}{\mathrm{128}}\mathrm{sin2}\varphi−\frac{\mathrm{243}}{\mathrm{1024}}\mathrm{sin4}\varphi+\mathrm{C} \\ $$$$\mathrm{where}\:\varphi=\mathrm{arccos}\frac{\mathrm{2x}+\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\Rightarrow\mathrm{sin}\varphi=\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}\sqrt{−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{x}+\mathrm{2}}\: \\ $$$$\mathrm{sin2}\varphi=\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{9}}\left(\mathrm{2x}+\mathrm{1}\right)\sqrt{−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{x}+\mathrm{2}}, \\ $$$$\mathrm{sin4}\varphi=\frac{\mathrm{8}}{\mathrm{81}}\left(\mathrm{2x}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{8x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{8x}−\mathrm{7}\right)\sqrt{−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{x}+\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{second}\:\mathrm{way}:\int\left(\mathrm{3cos}\varphi−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} \mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \varphi=\int\left(\mathrm{27cos}^{\mathrm{3}} \varphi−\mathrm{27cos}^{\mathrm{2}} \varphi+\mathrm{9cos}\varphi−\mathrm{1}\right)\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \varphi\mathrm{d}\varphi \\ $$$$=\int\mathrm{9cos}\varphi\left(\mathrm{3cos}^{\mathrm{2}} \varphi+\mathrm{1}\right)\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \varphi\mathrm{d}\varphi−\int\mathrm{27cos}^{\mathrm{2}} \varphi\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \varphi\mathrm{d}\varphi−\int\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \varphi\mathrm{d}\varphi \\ $$$$=\mathrm{9}\int\left(\mathrm{4}−\mathrm{3sin}^{\mathrm{2}} \varphi\right)\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \varphi\mathrm{dsin}\varphi−\frac{\mathrm{27}}{\mathrm{8}}\int\left(\mathrm{1}−\mathrm{cos4}\varphi\right)\mathrm{d}\varphi \\ $$$$−\int\frac{\mathrm{1}−\mathrm{cos2}\varphi}{\mathrm{2}}\mathrm{d}\varphi \\ $$$$=\mathrm{12sin}^{\mathrm{3}} \varphi−\frac{\mathrm{27}}{\mathrm{5}}\mathrm{sin}^{\mathrm{5}} \varphi−\frac{\mathrm{27}\varphi}{\mathrm{8}}+\frac{\mathrm{27}}{\mathrm{32}}\mathrm{sin4}\varphi−\frac{\varphi}{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{sin2}\varphi}{\mathrm{4}} \\ $$$$\mathrm{Hence},\mathrm{F}=−\frac{\mathrm{9}}{\mathrm{32}}\left(\frac{−\mathrm{31}\varphi}{\mathrm{8}}−\frac{\mathrm{27}}{\mathrm{5}}\mathrm{sin}^{\mathrm{5}} \varphi+\mathrm{12sin}^{\mathrm{3}} \varphi+\frac{\mathrm{sin2}\varphi}{\mathrm{4}}+\frac{\mathrm{27sin4}\varphi}{\mathrm{32}}\right) \\ $$$$\mathrm{with}\:\mathrm{the}\:\mathrm{angle}\:\varphi\:\mathrm{defined}\:\mathrm{like}\:\mathrm{as}\:\mathrm{above} \\ $$
Commented by abdomathmax last updated on 06/Jun/20
$$\mathrm{thank}\:\mathrm{sir}. \\ $$