Question Number 33837 by NECx last updated on 25/Apr/18
$${find}\:{y}\:{if}\:\mid\frac{{y}−\mathrm{3}}{{y}+\mathrm{1}}\mid<\mathrm{2} \\ $$$$ \\ $$$${i}\:{mean}\:{modulus}\:{by}\:\mid \\ $$
Answered by Rasheed.Sindhi last updated on 26/Apr/18
$${find}\:{y}\:{if}\:\mid\frac{{y}−\mathrm{3}}{{y}+\mathrm{1}}\mid<\mathrm{2} \\ $$$$\:\:\:\:\:\pm\frac{{y}−\mathrm{3}}{{y}+\mathrm{1}}<\mathrm{2} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\pm\left({y}−\mathrm{3}\right)<\mathrm{2}\left({y}+\mathrm{1}\right)\:\wedge\:{y}+\mathrm{1}>\mathrm{0}…….\mathrm{A} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{or} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\pm\left({y}−\mathrm{3}\right)>\mathrm{2}\left({y}+\mathrm{1}\right)\:\wedge\:{y}+\mathrm{1}<\mathrm{0}…….\mathrm{B} \\ $$$$\mathrm{A} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:{y}−\mathrm{3}<\mathrm{2}{y}+\mathrm{2}\:\:\wedge\:{y}>−\mathrm{1}…………\mathrm{A1} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:{y}>−\mathrm{5}\:\wedge\:{y}>−\mathrm{1} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:{y}>−\mathrm{1} \\ $$$$\:\mathrm{or} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:−{y}+\mathrm{3}<\mathrm{2}{y}+\mathrm{2}\:\wedge\:{y}>−\mathrm{1}……….\mathrm{A2} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{3}{y}>\mathrm{1}\wedge\:{y}>−\mathrm{1} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:{y}>\mathrm{1}/\mathrm{3}\:\:\wedge\:\:\:{y}>−\mathrm{1} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:{y}>\mathrm{1}/\mathrm{3}\:\: \\ $$$$\mathrm{A}:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{A1}\:\mathrm{or}\:\mathrm{A2}\::\:\:\:{y}>−\mathrm{1}\:\vee\:{y}>\mathrm{1}/\mathrm{3}\: \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:{y}>−\mathrm{1} \\ $$$$−−−−−−−−− \\ $$$$\mathrm{B} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:{y}−\mathrm{3}>\mathrm{2}{y}+\mathrm{2}\:\wedge\:{y}<−\mathrm{1}….\mathrm{B1} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:{y}<−\mathrm{5}\:\wedge\:{y}<−\mathrm{1} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:{y}<−\mathrm{5} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{or} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:−{y}+\mathrm{3}>\mathrm{2}{y}+\mathrm{2}\:\wedge\:{y}<−\mathrm{1}….\mathrm{B2} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:{y}<\mathrm{1}/\mathrm{3}\:\:\wedge\:{y}<−\mathrm{1} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:{y}<−\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{B}:\:\:\:\:\mathrm{B1}\:\mathrm{or}\:\:\mathrm{B2}:\:{y}<−\mathrm{5}\:\vee\:{y}<−\mathrm{1} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:{y}<−\mathrm{1} \\ $$$$−−−−−−−−− \\ $$$$\mathrm{Ans}\::\:\mathrm{A}\:\mathrm{or}\:\mathrm{B}:\:\:{y}>−\mathrm{1}\:\mathrm{or}\:{y}<−\mathrm{1} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: \\ $$$$\mathrm{Some}\:\mathrm{error}\:\mathrm{is}\:\mathrm{there}. \\ $$
Commented by MJS last updated on 26/Apr/18
![−2<((y−3)/(y+1))<2 ⇒ −2<((y−3)/(y+1)) ∧ ((y−3)/(y+1))<2 y+1≠0 ⇒ y≠−1 1. y+1<0 ⇒ y<−1 −2(y+1)>y−3 ∧ y−3>2(y+1) y<(1/3) ∧ y<−5 ⇒ y<−5 2. y+1>0 ⇒ y>−1 −2(y+1)<y−3 ∧ y−3<2(y+1) y>(1/3) ∧ y>−5 ⇒ y>(1/3) y<−5 ∨ y>(1/3) y∈ ]−∞; −5[ ∪ ](1/3); ∞[ ...but anyway he meant mod(((y−3)/(y+1)))<2](https://www.tinkutara.com/question/Q33853.png)
$$−\mathrm{2}<\frac{{y}−\mathrm{3}}{{y}+\mathrm{1}}<\mathrm{2}\:\Rightarrow\:−\mathrm{2}<\frac{{y}−\mathrm{3}}{{y}+\mathrm{1}}\:\wedge\:\frac{{y}−\mathrm{3}}{{y}+\mathrm{1}}<\mathrm{2} \\ $$$${y}+\mathrm{1}\neq\mathrm{0}\:\Rightarrow\:{y}\neq−\mathrm{1} \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{1}.\:{y}+\mathrm{1}<\mathrm{0}\:\Rightarrow\:{y}<−\mathrm{1} \\ $$$$−\mathrm{2}\left({y}+\mathrm{1}\right)>{y}−\mathrm{3}\:\wedge\:{y}−\mathrm{3}>\mathrm{2}\left({y}+\mathrm{1}\right) \\ $$$${y}<\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\:\wedge\:{y}<−\mathrm{5}\:\Rightarrow\:{y}<−\mathrm{5} \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{2}.\:{y}+\mathrm{1}>\mathrm{0}\:\Rightarrow\:{y}>−\mathrm{1} \\ $$$$−\mathrm{2}\left({y}+\mathrm{1}\right)<{y}−\mathrm{3}\:\wedge\:{y}−\mathrm{3}<\mathrm{2}\left({y}+\mathrm{1}\right) \\ $$$${y}>\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\:\wedge\:{y}>−\mathrm{5}\:\Rightarrow\:{y}>\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}} \\ $$$$ \\ $$$${y}<−\mathrm{5}\:\vee\:{y}>\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}} \\ $$$$\left.{y}\in\:\right]−\infty;\:−\mathrm{5}\left[\:\cup\:\right]\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}};\:\infty\left[\right. \\ $$$$…\mathrm{but}\:\mathrm{anyway}\:\mathrm{he}\:\mathrm{meant}\:{mod}\left(\frac{{y}−\mathrm{3}}{{y}+\mathrm{1}}\right)<\mathrm{2} \\ $$
Answered by MJS last updated on 26/Apr/18
$$\mathrm{mod}\left(\mathrm{5}/\mathrm{3}\right)=\mathrm{2}\:\mathrm{because}\:\mathrm{1}×\mathrm{3}+\mathrm{2}=\mathrm{5} \\ $$$$\mathrm{which}\:\mathrm{definition}\:\mathrm{shall}\:\mathrm{we}\:\mathrm{use}\:\mathrm{for}\:\mathrm{mod}\left(−\mathrm{5}/\mathrm{3}\right)\:\mathrm{and} \\ $$$$\mathrm{mod}\left(\mathrm{5}/−\mathrm{3}\right)? \\ $$