Question Number 21802 by Tinkutara last updated on 04/Oct/17
$$\mathrm{Five}\:\mathrm{balls}\:\mathrm{are}\:\mathrm{to}\:\mathrm{be}\:\mathrm{placed}\:\mathrm{in}\:\mathrm{three} \\ $$$$\mathrm{boxes}.\:\mathrm{Each}\:\mathrm{can}\:\mathrm{hold}\:\mathrm{all}\:\mathrm{the}\:\mathrm{five}\:\mathrm{balls}. \\ $$$$\mathrm{In}\:\mathrm{how}\:\mathrm{many}\:\mathrm{different}\:\mathrm{ways}\:\mathrm{can}\:\mathrm{we} \\ $$$$\mathrm{place}\:\mathrm{the}\:\mathrm{balls}\:\mathrm{so}\:\mathrm{that}\:\mathrm{no}\:\mathrm{box}\:\mathrm{remains} \\ $$$$\mathrm{empty},\:\mathrm{if}\:\mathrm{balls}\:\mathrm{are}\:\mathrm{different}\:\mathrm{but}\:\mathrm{boxes} \\ $$$$\mathrm{are}\:\mathrm{identical}? \\ $$
Commented by mrW1 last updated on 06/Oct/17
$$\mathrm{25}\:\mathrm{ways} \\ $$
Answered by ajfour last updated on 06/Oct/17
$${coeff}.\:{of}\:{x}^{\mathrm{5}} \:{in}\:\frac{\mathrm{5}!}{\mathrm{3}!}\left[{x}+\frac{{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}!}+\frac{{x}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{3}!}\right]^{\mathrm{3}} \\ $$$$={coeff}.\:{of}\:{x}^{\mathrm{2}} \:{in}\:\mathrm{20}\left(\mathrm{1}+\frac{{x}}{\mathrm{2}}+\frac{{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{6}}\right)^{\mathrm{3}} \\ $$$$\:\:\:=\mathrm{20}\left(\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{6}}+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}}\right)\:=\mathrm{20}×\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{4}}=\mathrm{25}\:. \\ $$
Commented by Tinkutara last updated on 06/Oct/17
$$\mathrm{But}\:\mathrm{I}\:\mathrm{don}'\mathrm{t}\:\mathrm{understand}\:\mathrm{why}\:\mathrm{to}\:\mathrm{find} \\ $$$$\mathrm{such}\:\mathrm{coefficients}\:\mathrm{in}\:\mathrm{these}\:\mathrm{expansions}? \\ $$$$\mathrm{I}\:\mathrm{know}\:\mathrm{this}\:\mathrm{formula}\:\mathrm{but}\:\mathrm{don}'\mathrm{t} \\ $$$$\mathrm{understand}\:\mathrm{the}\:\mathrm{reason}. \\ $$
Commented by ajfour last updated on 09/Oct/17
$${if}\:{x}_{\mathrm{1}} +{x}_{\mathrm{2}} +{x}_{\mathrm{3}} =\mathrm{9} \\ $$$${placing}\:\mathrm{9}\:{balls}\:{in}\:{three}\:{boxes}\:{such} \\ $$$${that}\:{they}\:{can}\:{remain}\:{empty},\:{then} \\ $$$${it}\:{is}\:{equivalent}\:{to}\:\:{choosing}\:{x}^{\mathrm{9}} \:{from} \\ $$$${the}\:{expansion}\:{of} \\ $$$$\left(\mathrm{1}+{x}+{x}^{\mathrm{2}} +…\right)^{\mathrm{3}} \\ $$$$=\left(\mathrm{1}+{x}+{x}^{\mathrm{2}} +…\right)\left(\mathrm{1}+{x}+{x}^{\mathrm{2}} +…\right)\left(\mathrm{1}+{x}+{x}^{\mathrm{2}} +..\right) \\ $$$${because}\:{powers}\:{of}\:{x}\:{from}\:{each} \\ $$$${bracket}\:{shall}\:{add}\:{and}\:{similarly} \\ $$$${no}.\:{of}\:{balls}\:{in}\:{each}\:{box}\:{shall}\:{add}. \\ $$$${the}\:{sum}\:{has}\:{to}\:{be}\:\mathrm{9}\:,\:{so}\:{we}\:{choose} \\ $$$${no}.\:{of}\:{ways}\:{of}\:{obtaining}\:{x}^{\mathrm{9}} \:= \\ $$$${coefficient}\:{of}\:{x}^{\mathrm{9}} \:. \\ $$$$={coeff}.\:{of}\:{x}^{\mathrm{9}} \:{in}\:{the}\:{expansion} \\ $$$${of}\:\left(\mathrm{1}+{x}+{x}^{\mathrm{2}} +…\right)^{\mathrm{3}} \\ $$$${or}\:{in}\:\left(\mathrm{1}−{x}\right)^{−\mathrm{3}} \:=\:^{\mathrm{9}+\mathrm{3}−\mathrm{1}} {C}_{\mathrm{3}−\mathrm{1}} =^{\mathrm{11}} {C}_{\mathrm{2}} \:. \\ $$
Commented by mrW1 last updated on 06/Oct/17
$$\mathrm{nice}\:\mathrm{explained}! \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{as}\:\mathrm{result}\:\mathrm{one}\:\mathrm{can}\:\mathrm{use}\:\mathrm{the}\:\mathrm{notation}\:\mathrm{of} \\ $$$$\mathrm{stirling}\:\mathrm{number}\:\left\{_{\mathrm{3}} ^{\mathrm{5}} \right\}\:\mathrm{which}\:\mathrm{means} \\ $$$$\mathrm{the}\:\mathrm{number}\:\mathrm{of}\:\mathrm{ways}\:\mathrm{to}\:\mathrm{put}\:\mathrm{5}\:\mathrm{different} \\ $$$$\mathrm{objects}\:\mathrm{into}\:\mathrm{3}\:\mathrm{identical}\:\mathrm{boxes}. \\ $$$$\left\{_{\mathrm{3}} ^{\mathrm{5}} \right\}=\mathrm{25} \\ $$
Commented by Tinkutara last updated on 06/Oct/17
$$\mathrm{Thank}\:\mathrm{you}\:\mathrm{very}\:\mathrm{much}\:\mathrm{Sir}! \\ $$
Commented by mrW1 last updated on 09/Oct/17
$$\mathrm{to}\:\mathrm{mr}.\:\mathrm{ajfour}: \\ $$$$\mathrm{you}\:\mathrm{said}: \\ $$$$={coeff}.\:{of}\:{x}^{\mathrm{9}} \:{in}\:{the}\:{expansion} \\ $$$${of}\:\left(\mathrm{1}+{x}+{x}^{\mathrm{2}} +…\right)^{\mathrm{3}} \\ $$$${or}\:{in}\:\left(\mathrm{1}−{x}\right)^{−\mathrm{3}} \:=\:^{\mathrm{9}−\mathrm{3}+\mathrm{1}} {C}_{\mathrm{3}} =^{\mathrm{7}} {C}_{\mathrm{3}} \:. \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{should}\:\mathrm{the}\:\mathrm{last}\:\mathrm{line}\:\mathrm{not}\:\mathrm{be}: \\ $$$${or}\:{in}\:\left(\mathrm{1}−{x}\right)^{−\mathrm{3}} \:=\:^{\mathrm{9}+\mathrm{3}−\mathrm{1}} {C}_{\mathrm{9}} =^{\mathrm{11}} {C}_{\mathrm{9}} \:. \\ $$$$? \\ $$
Commented by ajfour last updated on 09/Oct/17
$${yes}\:{it}\:{is}\:{in}\:{fact}\:{as}\:{you}\:{say}.. \\ $$$${i}\:{dint}\:{remember}\:{correctly},\:{n}\: \\ $$$${thought}\:{i}\:{did}. \\ $$