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Question Number 104173 by Dwaipayan Shikari last updated on 19/Jul/20
 For fun!  S_n =1+2+3+4+5+6+7+...  2S_n =    2  +   4      +  6      +..  −S_n =1+3+5+7+9+11+.....  −(−(1/(12)))=1+3+5+7+9+11+...  1+3+5+7+9+....=(1/(12))    S_n =1+2+3+4+5+6+7+....  S_n =1+(1+1)+(1+2)+(1+3)+...  S_n =(1+1+1+....)+S_n   1+1+1+1+1+1+....=0
$$\:\mathrm{For}\:\mathrm{fun}! \\ $$$$\mathrm{S}_{\mathrm{n}} =\mathrm{1}+\mathrm{2}+\mathrm{3}+\mathrm{4}+\mathrm{5}+\mathrm{6}+\mathrm{7}+… \\ $$$$\mathrm{2S}_{\mathrm{n}} =\:\:\:\:\mathrm{2}\:\:+\:\:\:\mathrm{4}\:\:\:\:\:\:+\:\:\mathrm{6}\:\:\:\:\:\:+.. \\ $$$$−\mathrm{S}_{\mathrm{n}} =\mathrm{1}+\mathrm{3}+\mathrm{5}+\mathrm{7}+\mathrm{9}+\mathrm{11}+….. \\ $$$$−\left(−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{12}}\right)=\mathrm{1}+\mathrm{3}+\mathrm{5}+\mathrm{7}+\mathrm{9}+\mathrm{11}+… \\ $$$$\mathrm{1}+\mathrm{3}+\mathrm{5}+\mathrm{7}+\mathrm{9}+….=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{12}} \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{S}_{\mathrm{n}} =\mathrm{1}+\mathrm{2}+\mathrm{3}+\mathrm{4}+\mathrm{5}+\mathrm{6}+\mathrm{7}+…. \\ $$$$\mathrm{S}_{\mathrm{n}} =\mathrm{1}+\left(\mathrm{1}+\mathrm{1}\right)+\left(\mathrm{1}+\mathrm{2}\right)+\left(\mathrm{1}+\mathrm{3}\right)+… \\ $$$$\mathrm{S}_{\mathrm{n}} =\left(\mathrm{1}+\mathrm{1}+\mathrm{1}+….\right)+\mathrm{S}_{\mathrm{n}} \\ $$$$\mathrm{1}+\mathrm{1}+\mathrm{1}+\mathrm{1}+\mathrm{1}+\mathrm{1}+….=\mathrm{0} \\ $$

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