Question Number 107101 by Dwaipayan Shikari last updated on 08/Aug/20
$$\mathrm{Fun}\:\mathrm{time} \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{1}+\mathrm{2x}+\mathrm{3x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{4x}^{\mathrm{3}} +….=\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\mathrm{1}+\mathrm{4}+\mathrm{12}+\mathrm{32}+…=\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{1}−\mathrm{2}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\mathrm{4}+\mathrm{12}+\mathrm{32}+….=\mathrm{0}\:\:\left(\mathrm{No}\:\mathrm{1}\:\mathrm{fun}\right) \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{5}+\mathrm{11}+\mathrm{17}+\mathrm{23}+…=\mathrm{0}\:\:\: \\ $$$$\underset{\mathrm{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\mathrm{6n}−\mathrm{1}=\mathrm{6}\underset{\mathrm{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\mathrm{n}−\overset{\infty} {\sum}\mathrm{1}=\mathrm{6}.\left(−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{12}}\right)−\left(−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\overset{\infty} {\sum}\mathrm{n}=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{12}}\:\:\:\:\left(\mathrm{Ramanujan}\:\mathrm{sum}\right) \\ $$$$\overset{\infty} {\sum}\mathrm{1}=\mathrm{1}+\mathrm{1}+\mathrm{1}+\mathrm{1}+\mathrm{1}+…=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\overset{\infty} {\sum}\mathrm{n}^{\mathrm{2}} .\overset{\infty} {\sum}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}^{\mathrm{2}} }\geqslant\left(\overset{\infty} {\sum}\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \:\:\:\left(\mathrm{Cauchy}\:\mathrm{schwarz}\:\mathrm{ineqality}\right) \\ $$$$\overset{\infty} {\sum}\mathrm{n}^{\mathrm{2}} .\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{6}}\geqslant\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}} \\ $$$$\overset{\infty} {\sum}\mathrm{n}^{\mathrm{2}} \geqslant\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}\pi^{\mathrm{2}} } \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$