Question Number 128942 by bramlexs22 last updated on 11/Jan/21
$$\:\mathrm{Given}\::\:\mathrm{3}{xf}\left(\frac{\mathrm{1}}{{x}}\right)+{f}\left({x}\right)=\mathrm{2}{x}+\mathrm{2}\: \\ $$$${and}\:{f}\left(\mathrm{3}\right),\:\mathrm{f}\left(\mathrm{9}\right)\:,\:\mathrm{f}\left(\mathrm{a}\right)\:\mathrm{three}\:\mathrm{first} \\ $$$$\mathrm{term}\:\mathrm{in}\:\mathrm{AP}\:\mathrm{respectively}.\:\mathrm{Find} \\ $$$$\:\mathrm{the}\:\mathrm{value}\:\mathrm{of}\:\mathrm{a}\:?\: \\ $$
Answered by liberty last updated on 11/Jan/21
$$\:\left(\mathrm{1}\right)\:\mathrm{3xf}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}\right)+\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{2x}+\mathrm{2} \\ $$$$\left(\mathrm{2}\right)\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{x}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)+\mathrm{f}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}\right)=\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{x}}+\mathrm{2} \\ $$$$\:\:\:\:\:\mathrm{3f}\left(\mathrm{x}\right)+\mathrm{xf}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}\right)=\mathrm{2}+\mathrm{2x} \\ $$$$\:\:\:\:\:\mathrm{9f}\left(\mathrm{x}\right)+\mathrm{3xf}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}\right)=\mathrm{6x}+\mathrm{6} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\mathrm{substract}\:\left(\mathrm{2}\right)\&\left(\mathrm{1}\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\mathrm{8f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{4x}+\mathrm{4}\:;\:\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{\mathrm{x}+\mathrm{1}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\mathrm{then}\:\begin{cases}{\mathrm{f}\left(\mathrm{3}\right)=\mathrm{2}\:;\:\mathrm{f}\left(\mathrm{9}\right)=\mathrm{5}}\\{\mathrm{f}\left(\mathrm{a}\right)=\frac{\mathrm{a}+\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}\end{cases} \\ $$$$\:\mathrm{since}\:\mathrm{f}\left(\mathrm{3}\right),\:\mathrm{f}\left(\mathrm{9}\right),\mathrm{f}\left(\mathrm{a}\right)\:\mathrm{in}\:\mathrm{AP} \\ $$$$\:\Leftrightarrow\:\mathrm{2f}\left(\mathrm{9}\right)=\mathrm{f}\left(\mathrm{3}\right)+\mathrm{f}\left(\mathrm{a}\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\frac{\mathrm{a}+\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:=\:\mathrm{10}−\mathrm{2}=\mathrm{8} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{a}+\mathrm{1}=\mathrm{16}\:\Rightarrow\mathrm{a}=\mathrm{15} \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 11/Jan/21
$$\mathrm{3xf}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}\right)+\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{2x}+\mathrm{2}\:\Rightarrow\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{x}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)+\mathrm{f}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}\right)=\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{x}}\:+\mathrm{2}\:\Rightarrow\begin{cases}{\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)+\mathrm{3xf}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}\right)=\mathrm{2x}+\mathrm{2}}\\{\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{x}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)+\mathrm{f}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}\right)=\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{x}}+\mathrm{2}}\end{cases} \\ $$$$\Delta_{\mathrm{s}} =\begin{vmatrix}{\mathrm{1}\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{3x}}\\{\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{x}}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{1}}\end{vmatrix}=\mathrm{1}−\mathrm{9}=−\mathrm{8}\neq\mathrm{0}\:\Rightarrow\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{\begin{vmatrix}{\mathrm{2x}+\mathrm{2}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{3x}}\\{\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{x}}+\mathrm{2}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{1}}\end{vmatrix}}{−\mathrm{8}} \\ $$$$=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}\left(\mathrm{2x}+\mathrm{2}−\mathrm{3x}\left(\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{x}}+\mathrm{2}\right)\right)\:=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}\left(\mathrm{2x}+\mathrm{2}−\mathrm{6}−\mathrm{6x}\right)=\frac{\mathrm{4x}+\mathrm{4}}{\mathrm{8}}=\frac{\mathrm{x}+\mathrm{1}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{f}\left(\mathrm{3}\right),\mathrm{f}\left(\mathrm{9}\right)\:\mathrm{and}\:\mathrm{f}\left(\mathrm{a}\right)\:\mathrm{are}\:\mathrm{in}\:\mathrm{a}.\mathrm{p}\:\Rightarrow\mathrm{f}\left(\mathrm{3}\right)+\mathrm{f}\left(\mathrm{a}\right)=\mathrm{2f}\left(\mathrm{9}\right)\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{2}+\frac{\mathrm{a}+\mathrm{1}}{\mathrm{2}}=\mathrm{10}\:\Rightarrow\mathrm{4}+\mathrm{a}+\mathrm{1}\:=\mathrm{20}\:\Rightarrow\mathrm{a}=\mathrm{20}−\mathrm{5}=\mathrm{15} \\ $$$$ \\ $$