Question Number 122391 by ZiYangLee last updated on 16/Nov/20
$$\mathrm{Given}\:\mathrm{4},\mathrm{2},\mathrm{1},\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}},\ldots\:\mathrm{is}\:\mathrm{a}\:\mathrm{geometric}\:\mathrm{progression}. \\ $$$$\mathrm{Find}\:\mathrm{the}\:\mathrm{sum}\:\mathrm{of}\:\left({n}+\mathrm{2}\right)\mathrm{terms}\:\mathrm{of}\:\mathrm{this}\:\mathrm{progression} \\ $$$$\mathrm{in}\:\mathrm{terms}\:\mathrm{of}\:{n}. \\ $$
Answered by floor(10²Eta[1]) last updated on 16/Nov/20
$$\mathrm{GP}\left(\mathrm{4},\:\mathrm{2},\:\mathrm{1},\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}},\:…\right),\:\mathrm{q}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{S}_{\mathrm{n}} =\frac{\mathrm{a}_{\mathrm{1}} \left(\mathrm{1}−\mathrm{q}^{\mathrm{n}} \right)}{\mathrm{1}−\mathrm{q}} \\ $$$$\mathrm{S}_{\mathrm{n}+\mathrm{2}} =\frac{\mathrm{a}_{\mathrm{1}} \left(\mathrm{1}−\mathrm{q}^{\mathrm{n}+\mathrm{2}} \right)}{\mathrm{1}−\mathrm{q}}=\frac{\mathrm{4}\left(\mathrm{1}−\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{n}+\mathrm{2}} \right)}{\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}} \\ $$$$=\frac{\mathrm{2}^{\mathrm{n}+\mathrm{2}} −\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} } \\ $$
Answered by Dwaipayan Shikari last updated on 16/Nov/20
$$\mathrm{4}+\mathrm{4}{a}+\mathrm{4}{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{4}{a}^{\mathrm{3}} +…+\mathrm{4}{a}^{{n}+\mathrm{1}} \\ $$$$\mathrm{4}\left(\mathrm{1}+{a}+{a}^{\mathrm{2}} +{a}^{\mathrm{3}} +…+{a}^{{n}+\mathrm{1}} \right) \\ $$$$=\mathrm{4}\frac{\mathrm{1}−{a}^{{n}+\mathrm{2}} }{\mathrm{1}−{a}}\:\:\:\:\:\left({a}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right) \\ $$$$=\mathrm{8}\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{{n}+\mathrm{2}} }\right)=\mathrm{2}^{\mathrm{3}} −\mathrm{2}^{\mathrm{1}−{n}} \\ $$