Question Number 179090 by CrispyXYZ last updated on 24/Oct/22
$$\mathrm{Given}\:{a}>\mathrm{0},\:{b}>\mathrm{0},\:{c}>\mathrm{2},\:{a}+{b}=\mathrm{1}. \\ $$$$\mathrm{find}\:\mathrm{the}\:\mathrm{minimum}\:\mathrm{value}\:\mathrm{of}\:\:\frac{\mathrm{3}{ac}}{{b}}+\frac{{c}}{{ab}}+\frac{\mathrm{6}}{{c}−\mathrm{2}}. \\ $$
Commented by Frix last updated on 24/Oct/22
$$\mathrm{24} \\ $$
Answered by MJS_new last updated on 24/Oct/22
$${a}>\mathrm{0}\wedge{b}>\mathrm{0}\wedge{a}+{b}=\mathrm{1}\:\Rightarrow\:\mathrm{0}<{a}<\mathrm{1}\wedge\mathrm{0}<{b}<\mathrm{1} \\ $$$$\Rightarrow\:\mathrm{let}\:{a}=\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \:{x}\:\wedge\:{b}=\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \:{x} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\mathrm{I}\:\mathrm{prefer}\:{x}=\mathrm{arctan}\:{t}\:\Rightarrow\:{a}=\frac{{t}^{\mathrm{2}} }{{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}\wedge{b}=\frac{\mathrm{1}}{{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}} \\ $$$${c}>\mathrm{2}\:\Rightarrow\:{c}=\mathrm{2}+{u}^{\mathrm{2}} \\ $$$$ \\ $$$$\Rightarrow \\ $$$$ \\ $$$$\frac{\mathrm{3}{ac}}{{b}}+\frac{{c}}{{ab}}+\frac{\mathrm{6}}{{c}−\mathrm{2}}= \\ $$$$=\mathrm{3}{t}^{\mathrm{2}} \left({u}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}\right)+\frac{\left({t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \left({u}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}\right)}{{t}^{\mathrm{2}} }+\frac{\mathrm{6}}{{u}^{\mathrm{2}} }={f}\left({t},\:{u}\right) \\ $$$$\frac{{df}}{{dt}}=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{6}\left({u}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}\right){t}+\frac{\mathrm{2}\left({t}^{\mathrm{4}} −\mathrm{1}\right)\left({u}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}\right)}{{t}^{\mathrm{3}} }=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{2}\left(\mathrm{4}{t}^{\mathrm{4}} −\mathrm{1}\right)\left({u}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}\right)=\mathrm{0} \\ $$$${t}=\pm\frac{\sqrt{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}} \\ $$$${f}\left(\pm\frac{\sqrt{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}},\:{u}\right)=\frac{\mathrm{3}\left({u}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}\right)}{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{9}\left({u}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}\right)}{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{6}}{{u}^{\mathrm{2}} }=\frac{\mathrm{6}\left({u}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)}{{u}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\frac{{df}}{{du}}=\mathrm{0} \\ $$$$\frac{\mathrm{12}\left({u}^{\mathrm{4}} −\mathrm{1}\right)}{{u}^{\mathrm{3}} }=\mathrm{0} \\ $$$${u}=\pm\mathrm{1} \\ $$$${f}\left(\pm\frac{\sqrt{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}},\:\pm\mathrm{1}\right)=\mathrm{24} \\ $$$$\mathrm{with}\:{a}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\wedge{b}=\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}\wedge{c}=\mathrm{3} \\ $$