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Question Number 116824 by bemath last updated on 07/Oct/20
Given a>b>0 , a&b real number such that a^2 −ab+b^2 =7 and a−ab+b=−1. find the value of a^2 −b^2
$$\mathrm{Given}\:\mathrm{a}>\mathrm{b}>\mathrm{0}\:,\:\mathrm{a\&b}\:\mathrm{real}\:\mathrm{number}\:\mathrm{such}\:\mathrm{that} \\ $$$$\mathrm{a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{ab}+\mathrm{b}^{\mathrm{2}} =\mathrm{7}\:\mathrm{and}\:\mathrm{a}−\mathrm{ab}+\mathrm{b}=−\mathrm{1}. \\ $$$$\mathrm{find}\:\mathrm{the}\:\mathrm{value}\:\mathrm{of}\:\mathrm{a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{b}^{\mathrm{2}} \\ $$
Answered by 1549442205PVT last updated on 08/Oct/20
From the hypothesis we have { ((a^2 −ab+b^2 =7(1))),(( a−ab+b=−1(2).)) :} a−ab+b=−1⇒b=((a+1)/(a−1))(3).Replace into (1)we get a^2 +(((a+1)/(a−1)))^2 −((a^2 +a)/(a−1))=7 ⇔a^2 +((a^2 +2a+1)/(a^2 −2a+1))−((a^2 +a)/(a−1))=7 ⇒a^4 −2a^3 +a^2 +a^2 +2a+1−(a^3 −a) =7a^2 −14a+7⇔a^4 −3a^3 −5a^2 +17a−6=0 ⇔(a−3)(a−2)(a^2 +2a−1)=0 ⇔a∈{2,3,−1+(√2)}.Replace into (1) we get b∈{3,2,−1−(√2)}but since a>b>0,we get b=2 Thus,a^2 −b^2 =5
$$\mathrm{From}\:\mathrm{the}\:\mathrm{hypothesis}\:\mathrm{we}\:\mathrm{have} \\ $$$$\begin{cases}{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{ab}+\mathrm{b}^{\mathrm{2}} =\mathrm{7}\left(\mathrm{1}\right)}\\{\:\mathrm{a}−\mathrm{ab}+\mathrm{b}=−\mathrm{1}\left(\mathrm{2}\right).}\end{cases} \\ $$$$\:\mathrm{a}−\mathrm{ab}+\mathrm{b}=−\mathrm{1}\Rightarrow\mathrm{b}=\frac{\mathrm{a}+\mathrm{1}}{\mathrm{a}−\mathrm{1}}\left(\mathrm{3}\right).\mathrm{Replace} \\ $$$$\mathrm{into}\:\left(\mathrm{1}\right)\mathrm{we}\:\mathrm{get}\:\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\left(\frac{\mathrm{a}+\mathrm{1}}{\mathrm{a}−\mathrm{1}}\right)^{\mathrm{2}} −\frac{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{a}}{\mathrm{a}−\mathrm{1}}=\mathrm{7} \\ $$$$\Leftrightarrow\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\frac{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2a}+\mathrm{1}}{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2a}+\mathrm{1}}−\frac{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{a}}{\mathrm{a}−\mathrm{1}}=\mathrm{7} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{a}^{\mathrm{4}} −\mathrm{2a}^{\mathrm{3}} +\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2a}+\mathrm{1}−\left(\mathrm{a}^{\mathrm{3}} −\mathrm{a}\right) \\ $$$$=\mathrm{7a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{14a}+\mathrm{7}\Leftrightarrow\mathrm{a}^{\mathrm{4}} −\mathrm{3a}^{\mathrm{3}} −\mathrm{5a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{17a}−\mathrm{6}=\mathrm{0} \\ $$$$\Leftrightarrow\left(\mathrm{a}−\mathrm{3}\right)\left(\mathrm{a}−\mathrm{2}\right)\left(\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2a}−\mathrm{1}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\Leftrightarrow\mathrm{a}\in\left\{\mathrm{2},\mathrm{3},−\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{2}}\right\}.\mathrm{Replace}\:\mathrm{into}\:\left(\mathrm{1}\right) \\ $$$$\mathrm{we}\:\mathrm{get}\:\mathrm{b}\in\left\{\mathrm{3},\mathrm{2},−\mathrm{1}−\sqrt{\mathrm{2}}\right\}\mathrm{but}\:\mathrm{since} \\ $$$$\mathrm{a}>\mathrm{b}>\mathrm{0},\mathrm{we}\:\mathrm{get}\:\mathrm{b}=\mathrm{2} \\ $$$$\mathrm{Thus},\mathrm{a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{b}^{\mathrm{2}} =\mathrm{5} \\ $$
Commented by bemath last updated on 07/Oct/20
sir given condition a >b>0 why a^2 −b^2 negative sir?
$$\mathrm{sir}\:\mathrm{given}\:\mathrm{condition}\:\mathrm{a}\:>\mathrm{b}>\mathrm{0}\:\mathrm{why} \\ $$$$\mathrm{a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{b}^{\mathrm{2}} \:\mathrm{negative}\:\mathrm{sir}? \\ $$
Commented by 1549442205PVT last updated on 07/Oct/20
Thank Sir.I mistaked and corrected
$$\mathrm{Thank}\:\mathrm{Sir}.\mathrm{I}\:\mathrm{mistaked}\:\mathrm{and}\:\mathrm{corrected} \\ $$
Answered by MJS_new last updated on 07/Oct/20
a^2 +b^2 =ab+7 a+b=ab−1 (a+b)^2 =3ab+7 3ab+7=(ab−1)^2 (ab)^2 −5ab−6=0 a, b >0 ⇒ ab=6 a^2 +b^2 =13 a+b=5 a^2 +b^2 =(a−b)^2 +2ab=(a−b)^2 +12 (a−b)^2 =a^2 +b^2 −12=1 ⇒ a−b=1 ⇒ a^2 −b^2 =(a−b)(a+b)=5
$${a}^{\mathrm{2}} +{b}^{\mathrm{2}} ={ab}+\mathrm{7} \\ $$$${a}+{b}={ab}−\mathrm{1} \\ $$$$ \\ $$$$\left({a}+{b}\right)^{\mathrm{2}} =\mathrm{3}{ab}+\mathrm{7} \\ $$$$\mathrm{3}{ab}+\mathrm{7}=\left({ab}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \\ $$$$\left({ab}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{5}{ab}−\mathrm{6}=\mathrm{0} \\ $$$${a},\:{b}\:>\mathrm{0}\:\Rightarrow\:{ab}=\mathrm{6} \\ $$$$ \\ $$$${a}^{\mathrm{2}} +{b}^{\mathrm{2}} =\mathrm{13} \\ $$$${a}+{b}=\mathrm{5} \\ $$$$ \\ $$$${a}^{\mathrm{2}} +{b}^{\mathrm{2}} =\left({a}−{b}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}{ab}=\left({a}−{b}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{12} \\ $$$$\left({a}−{b}\right)^{\mathrm{2}} ={a}^{\mathrm{2}} +{b}^{\mathrm{2}} −\mathrm{12}=\mathrm{1} \\ $$$$\Rightarrow\:{a}−{b}=\mathrm{1} \\ $$$$\Rightarrow\:{a}^{\mathrm{2}} −{b}^{\mathrm{2}} =\left({a}−{b}\right)\left({a}+{b}\right)=\mathrm{5} \\ $$
Commented by bemath last updated on 07/Oct/20
thank you prof
$$\mathrm{thank}\:\mathrm{you}\:\mathrm{prof} \\ $$

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