Question Number 116433 by bemath last updated on 04/Oct/20
$$\mathrm{Given}\:\mathrm{f}\left(\theta\right)\:=\:\mathrm{2}^{\mathrm{cos}\:^{\mathrm{2}} \left(\theta\right)} \:+\:\mathrm{2}^{\mathrm{sin}\:^{\mathrm{2}} \left(\theta\right)} \\ $$$$\mathrm{find}\:\begin{cases}{\mathrm{maximum}\:\mathrm{value}}\\{\mathrm{minimum}\:\mathrm{value}}\end{cases} \\ $$
Answered by bobhans last updated on 04/Oct/20
$$\Rightarrow\:\mathrm{f}\left(\theta\right)\:=\:\mathrm{2}^{\mathrm{1}−\mathrm{sin}\:^{\mathrm{2}} \left(\theta\right)} \:+\:\mathrm{2}^{\mathrm{sin}\:^{\mathrm{2}} \left(\theta\right)} \\ $$$$\mathrm{let}\:\mathrm{2}^{\mathrm{sin}\:^{\mathrm{2}} \left(\theta\right)} \:=\:\mathrm{t}\:\Rightarrow\mathrm{f}\left(\mathrm{t}\right)=\:\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{t}}+\mathrm{t} \\ $$$$\mathrm{first}\:\mathrm{step}\:\rightarrow\mathrm{ln}\:\mathrm{t}\:=\:\mathrm{sin}\:^{\mathrm{2}} \left(\theta\right).\mathrm{ln}\:\left(\mathrm{2}\right) \\ $$$$\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}}\:\frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{d}\theta}\:=\:\mathrm{sin}\:\left(\mathrm{2}\theta\right).\mathrm{ln}\:\left(\mathrm{2}\right) \\ $$$$\frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{d}\theta}\:=\:\left(\mathrm{sin}\:\mathrm{2}\theta.\:\mathrm{ln}\:\left(\mathrm{2}\right)\right).\mathrm{t} \\ $$$$\mathrm{Now}\:\mathrm{f}\:'\left(\mathrm{t}\right)\:=\:\left\{\mathrm{1}−\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }\:\right\}.\left\{\mathrm{sin}\:\left(\mathrm{2}\theta\right).\mathrm{ln}\:\left(\mathrm{2}\right)\right)\mathrm{t} \\ $$$$\mathrm{taking}\:\mathrm{f}\:'\left(\mathrm{t}\right)\:=\:\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{we}\:\mathrm{get}\:\begin{cases}{\mathrm{2t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}=\mathrm{0}\rightarrow\left(\mathrm{t}−\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)=\mathrm{0}}\\{\mathrm{t}\:=\:\mathrm{0}\:\left(\mathrm{rejected}\right),\mathrm{because}\:\mathrm{t}\:>\mathrm{0}}\\{\mathrm{sin}\:\mathrm{2}\theta=\mathrm{0}\Rightarrow\theta=\left(\mathrm{k}+\mathrm{1}\right).\frac{\pi}{\mathrm{2}}}\end{cases} \\ $$$$\mathrm{case}\left(\mathrm{1}\right)\:\mathrm{for}\:\mathrm{t}\:=\:\mathrm{1}\:\rightarrow\mathrm{f}\left(\theta\right)\:=\:\mathrm{3}\:\left(\mathrm{max}\right) \\ $$$$\mathrm{case}\left(\mathrm{2}\right)\:\mathrm{for}\:\theta=\frac{\pi}{\mathrm{2}}\rightarrow\mathrm{f}\left(\theta\right)=\mathrm{2}^{\mathrm{0}} +\mathrm{2}^{\mathrm{1}} =\:\mathrm{3}\:\left(\mathrm{max}\right) \\ $$$$\mathrm{minimum}\:\mathrm{value}\:\mathrm{we}\:\mathrm{get}\:\mathrm{when}\:\mathrm{2}^{\mathrm{cos}\:^{\mathrm{2}} \left(\theta\right)} \:=\:\mathrm{2}^{\mathrm{cos}\:^{\mathrm{2}} \left(\theta\right)} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{sin}\:^{\mathrm{2}} \left(\theta\right)=\mathrm{cos}\:^{\mathrm{2}} \left(\theta\right)\:\mathrm{or}\:\mathrm{tan}\:^{\mathrm{2}} \left(\theta\right)=\mathrm{1} \\ $$$$\Rightarrow\:\theta\:=\:\frac{\pi}{\mathrm{4}},\:\frac{\mathrm{3}\pi}{\mathrm{4}},…\:.\:\mathrm{Thus}\:\mathrm{minimum}\: \\ $$$$\mathrm{value}\:\mathrm{of}\:\mathrm{f}\left(\theta\right)\:=\:\mathrm{2}^{\mathrm{sin}\:^{\mathrm{2}} \left(\frac{\pi}{\mathrm{4}}\right)} \:+\:\mathrm{2}^{\mathrm{cos}\:^{\mathrm{2}} \left(\frac{\pi}{\mathrm{4}}\right)} \:=\:\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}} \\ $$
Commented by bemath last updated on 04/Oct/20
Answered by Dwaipayan Shikari last updated on 04/Oct/20
$$\mathrm{Minimum} \\ $$$$\frac{\mathrm{2}^{\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \theta} +\mathrm{2}^{\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \theta} }{\mathrm{2}}\geqslant\sqrt{\mathrm{2}^{\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \theta+\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \theta} } \\ $$$$\mathrm{2}^{\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \theta} +\mathrm{2}^{\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \theta} \geqslant\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{Minimum}\:\mathrm{is}\:\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}} \\ $$$$ \\ $$