Question Number 150044 by bramlexs22 last updated on 09/Aug/21
$$\:\mathrm{Given}\:\mathrm{f}\left(\frac{\mathrm{2x}−\mathrm{3}}{\mathrm{2x}+\mathrm{1}}\right)+\mathrm{f}\left(\frac{\mathrm{2x}+\mathrm{3}}{\mathrm{1}−\mathrm{2x}}\right)=\:\mathrm{4x} \\ $$$$\:\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=? \\ $$
Answered by liberty last updated on 09/Aug/21
$$\:\mathrm{f}\left(\frac{\mathrm{2x}−\mathrm{3}}{\mathrm{2x}+\mathrm{1}}\right)+\mathrm{f}\left(\frac{\mathrm{2x}+\mathrm{3}}{\mathrm{1}−\mathrm{2x}}\right)=\mathrm{4x}\:\ldots\left(\mathrm{i}\right) \\ $$$$\mathrm{let}\:\frac{\mathrm{2x}−\mathrm{3}}{\mathrm{2x}+\mathrm{1}}\:=\:\mathrm{y}\:; \\ $$$$\:\mathrm{x}=\frac{−\mathrm{y}−\mathrm{3}}{\mathrm{2y}−\mathrm{2}} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{f}\left(\mathrm{y}\right)+\mathrm{f}\left(\frac{\mathrm{y}−\mathrm{3}}{\mathrm{y}+\mathrm{1}}\right)=\frac{−\mathrm{2y}+\mathrm{6}}{\mathrm{y}−\mathrm{1}}\ldots\left(\mathrm{ii}\right) \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)+\mathrm{f}\left(\frac{\mathrm{x}−\mathrm{3}}{\mathrm{x}+\mathrm{1}}\right)=\frac{−\mathrm{2x}+\mathrm{6}}{\mathrm{x}−\mathrm{1}} \\ $$$$\mathrm{let}\:\frac{\mathrm{y}−\mathrm{3}}{\mathrm{y}+\mathrm{1}}\:=\:\mathrm{u}\:;\:\mathrm{y}=\frac{−\mathrm{u}−\mathrm{3}}{\mathrm{u}−\mathrm{1}} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{f}\left(\frac{−\mathrm{u}−\mathrm{3}}{\mathrm{u}−\mathrm{1}}\right)+\mathrm{f}\left(\mathrm{u}\right)=−\frac{\mathrm{4u}}{\mathrm{u}+\mathrm{1}}\:\ldots\left(\mathrm{iii}\right) \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{f}\left(\frac{−\mathrm{x}−\mathrm{3}}{\mathrm{x}−\mathrm{1}}\right)+\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{−\mathrm{4x}}{\mathrm{x}+\mathrm{1}} \\ $$$$\mathrm{let}\:\frac{−\mathrm{x}−\mathrm{3}}{\mathrm{x}−\mathrm{1}}=\mathrm{t}\:;\:\mathrm{x}=\frac{\mathrm{t}−\mathrm{3}}{\mathrm{t}+\mathrm{1}} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)+\mathrm{f}\left(\frac{\mathrm{x}−\mathrm{3}}{\mathrm{x}+\mathrm{1}}\right)=\frac{−\mathrm{2x}+\mathrm{6}}{\mathrm{x}−\mathrm{1}}\ldots\left(\mathrm{iv}\right) \\ $$$$ \\ $$
Answered by Rasheed.Sindhi last updated on 09/Aug/21
$$\:\mathrm{f}\left(\frac{\mathrm{2x}−\mathrm{3}}{\mathrm{2x}+\mathrm{1}}\right)+\mathrm{f}\left(\frac{\mathrm{2x}+\mathrm{3}}{\mathrm{1}−\mathrm{2x}}\right)=\:\mathrm{4x}…\left({i}\right);\:\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=? \\ $$$$\mathrm{x}\rightarrow−{x} \\ $$$$\mathrm{f}\left(\frac{−\mathrm{2x}−\mathrm{3}}{−\mathrm{2x}+\mathrm{1}}\right)+\mathrm{f}\left(\frac{−\mathrm{2x}+\mathrm{3}}{\mathrm{1}+\mathrm{2x}}\right)=−\:\mathrm{4x} \\ $$$$\mathrm{f}\left(−\frac{\mathrm{2x}+\mathrm{3}}{\mathrm{1}−\mathrm{2x}}\right)+\mathrm{f}\left(−\frac{\mathrm{2x}−\mathrm{3}}{\mathrm{1}+\mathrm{2x}}\right)=−\:\mathrm{4x}….\left({ii}\right) \\ $$$${Let}\:\frac{\mathrm{2x}−\mathrm{3}}{\mathrm{2x}+\mathrm{1}}=\mathrm{u}\:,\:\frac{\mathrm{2x}+\mathrm{3}}{\mathrm{1}−\mathrm{2x}}=\mathrm{v} \\ $$$$\begin{cases}{\left(\mathrm{i}\right)\Rightarrow\mathrm{f}\left(\mathrm{u}\right)+\mathrm{f}\left(\mathrm{v}\right)=\mathrm{4x}}\\{\left(\mathrm{ii}\right)\Rightarrow\mathrm{f}\left(−\mathrm{u}\right)+\mathrm{f}\left(−\mathrm{v}\right)=−\mathrm{4x}}\end{cases} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{f}\left(\mathrm{u}\right)+\mathrm{f}\left(−\mathrm{u}\right)+\mathrm{f}\left(\mathrm{v}\right)+\left(−\mathrm{v}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\frac{\mathrm{2x}−\mathrm{3}}{\mathrm{2x}+\mathrm{1}}=\mathrm{u}\Rightarrow\mathrm{2x}−\mathrm{3}=\mathrm{2ux}+\mathrm{u} \\ $$$$\mathrm{2ux}−\mathrm{2x}+\mathrm{u}+\mathrm{3}=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{x}=−\frac{\mathrm{u}+\mathrm{3}}{\mathrm{2}\left(\mathrm{u}−\mathrm{1}\right)} \\ $$$$\mathrm{v}=\frac{\mathrm{2x}+\mathrm{3}}{\mathrm{1}−\mathrm{2x}}=\frac{\mathrm{2}\left(−\frac{\mathrm{u}+\mathrm{3}}{\mathrm{2}\left(\mathrm{u}−\mathrm{1}\right)}\right)+\mathrm{3}}{\mathrm{1}−\mathrm{2}\left(−\frac{\mathrm{u}+\mathrm{3}}{\mathrm{2}\left(\mathrm{u}−\mathrm{1}\right)}\right)}=\frac{−\mathrm{u}−\mathrm{3}+\mathrm{3u}−\mathrm{3}}{\mathrm{u}−\mathrm{1}+\mathrm{u}+\mathrm{3}} \\ $$$$\mathrm{v}=\frac{\mathrm{2u}−\mathrm{6}}{\mathrm{2u}+\mathrm{2}}=\frac{\mathrm{u}−\mathrm{3}}{\mathrm{u}+\mathrm{1}} \\ $$$$\mathrm{f}\left(\mathrm{u}\right)+\mathrm{f}\left(−\mathrm{u}\right)+\mathrm{f}\left(\mathrm{v}\right)+\mathrm{f}\left(−\mathrm{v}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{f}\left(\mathrm{u}\right)+\mathrm{f}\left(−\mathrm{u}\right)+\mathrm{f}\left(\frac{\mathrm{u}−\mathrm{3}}{\mathrm{u}+\mathrm{1}}\right)+\mathrm{f}\left(−\frac{\mathrm{u}−\mathrm{3}}{\mathrm{u}+\mathrm{1}}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$….\underset{…..} {\overset{…..} {\:\:\:\:\:\:}}…. \\ $$