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Given-f-x-nx-n-1-n-1-x-n-1-x-p-1-x-p-x-1-x-R-and-n-p-N-N-a-Calculate-lim-x-f-x-b-Show-that-lim-x-1-n-n-1-2p-

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Question Number 99713 by Ar Brandon last updated on 22/Jun/20
Given f(x)=((nx^(n+1) −(n+1)x^n +1)/(x^(p+1) −x^p −x+1)) , x∈R and (n,p)∈N^∗ ×N^∗ a\Calculate lim_(x→+∞) f(x) b\Show that lim_(x→1) =((n(n+1))/(2p))
$$\mathrm{Given}\:\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{\mathrm{nx}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} −\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\mathrm{x}^{\mathrm{n}} +\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{p}+\mathrm{1}} −\mathrm{x}^{\mathrm{p}} −\mathrm{x}+\mathrm{1}}\:,\:\mathrm{x}\in\mathbb{R}\:\:\mathrm{and}\:\:\left(\mathrm{n},\mathrm{p}\right)\in\mathbb{N}^{\ast} ×\mathbb{N}^{\ast} \\ $$$$\mathrm{a}\backslash\mathcal{C}\mathrm{alculate}\:\underset{\mathrm{x}\rightarrow+\infty} {\mathrm{lim}f}\left(\mathrm{x}\right) \\ $$$$\mathrm{b}\backslash\mathrm{Show}\:\mathrm{that}\:\underset{\mathrm{x}\rightarrow\mathrm{1}} {\mathrm{lim}}=\frac{\mathrm{n}\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{2p}} \\ $$
Answered by Ar Brandon last updated on 23/Jun/20
b\lim_(x→1) f(x)=((n−(n+1)+1)/(1−1−1+1))=(0/0) {Passons par la loi de LH} (((d/dx){nx^(n+1) −(n+1)x^n +1})/((d/dx){x^(p+1) −x^p −x+1}))=((n(n+1)x^n −n(n+1)x^(n−1) )/((p+1)x^p −px^(p−1) −1))⇒lim_(x→1) f(x)=(0/0) (((d^2 /dx^2 ){nx^(n+1) −(n+1)x^n +1})/((d^2 /dx^2 ){x^(p+1) −x^p −x+1}))=((n^2 (n+1)x^(n−1) −n(n+1)(n−1)x^(n−2) )/(p(p+1)x^(p−1) −p(p−1)x^(p−2) )) lim_(x→1) f(x)=((n^2 (n+1)−n(n^2 −1))/(p(p+1)−p(p−1)))=((n^3 +n^2 −n^3 +n)/(p^2 +p−p^2 +p))=((n(n+1))/(2p))
$$\mathrm{b}\backslash\underset{\mathrm{x}\rightarrow\mathrm{1}} {\mathrm{lim}f}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{\mathrm{n}−\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)+\mathrm{1}}{\mathrm{1}−\mathrm{1}−\mathrm{1}+\mathrm{1}}=\frac{\mathrm{0}}{\mathrm{0}}\:\:\left\{\mathrm{Passons}\:\mathrm{par}\:\mathrm{la}\:\mathrm{loi}\:\mathrm{de}\:\mathrm{LH}\right\} \\ $$$$\frac{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\left\{\mathrm{nx}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} −\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\mathrm{x}^{\mathrm{n}} +\mathrm{1}\right\}}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\left\{\mathrm{x}^{\mathrm{p}+\mathrm{1}} −\mathrm{x}^{\mathrm{p}} −\mathrm{x}+\mathrm{1}\right\}}=\frac{\mathrm{n}\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\mathrm{x}^{\mathrm{n}} −\mathrm{n}\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\mathrm{x}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} }{\left(\mathrm{p}+\mathrm{1}\right)\mathrm{x}^{\mathrm{p}} −\mathrm{px}^{\mathrm{p}−\mathrm{1}} −\mathrm{1}}\Rightarrow\underset{\mathrm{x}\rightarrow\mathrm{1}} {\mathrm{lim}f}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{\mathrm{0}}{\mathrm{0}} \\ $$$$\frac{\frac{\mathrm{d}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{dx}^{\mathrm{2}} }\left\{\mathrm{nx}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} −\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\mathrm{x}^{\mathrm{n}} +\mathrm{1}\right\}}{\frac{\mathrm{d}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{dx}^{\mathrm{2}} }\left\{\mathrm{x}^{\mathrm{p}+\mathrm{1}} −\mathrm{x}^{\mathrm{p}} −\mathrm{x}+\mathrm{1}\right\}}=\frac{\mathrm{n}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\mathrm{x}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} −\mathrm{n}\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{n}−\mathrm{1}\right)\mathrm{x}^{\mathrm{n}−\mathrm{2}} }{\mathrm{p}\left(\mathrm{p}+\mathrm{1}\right)\mathrm{x}^{\mathrm{p}−\mathrm{1}} −\mathrm{p}\left(\mathrm{p}−\mathrm{1}\right)\mathrm{x}^{\mathrm{p}−\mathrm{2}} } \\ $$$$\underset{\mathrm{x}\rightarrow\mathrm{1}} {\mathrm{lim}f}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{\mathrm{n}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)−\mathrm{n}\left(\mathrm{n}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)}{\mathrm{p}\left(\mathrm{p}+\mathrm{1}\right)−\mathrm{p}\left(\mathrm{p}−\mathrm{1}\right)}=\frac{\mathrm{n}^{\mathrm{3}} +\mathrm{n}^{\mathrm{2}} −\mathrm{n}^{\mathrm{3}} +\mathrm{n}}{\mathrm{p}^{\mathrm{2}} +\mathrm{p}−\mathrm{p}^{\mathrm{2}} +\mathrm{p}}=\frac{\mathrm{n}\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{2p}} \\ $$
Answered by Ar Brandon last updated on 23/Jun/20
a\lim_(x→∞) f(x)=lim_(x→∞) ((n−(n+1)x^(−1) +x^(−n−1) )/(x^(p−n) −x^(p−n−1) −x^(−n) +x^(−n−1) )) =lim_(x→∞) {(n/(x^(p−n) −x^(p−n−1) ))}= { ((n si p=n)),((+∞ si p<n)),((0 si p>n)) :}
$$\mathrm{a}\backslash\underset{\mathrm{x}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}f}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{x}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{n}−\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\mathrm{x}^{−\mathrm{1}} +\mathrm{x}^{−\mathrm{n}−\mathrm{1}} }{\mathrm{x}^{\mathrm{p}−\mathrm{n}} −\mathrm{x}^{\mathrm{p}−\mathrm{n}−\mathrm{1}} −\mathrm{x}^{−\mathrm{n}} +\mathrm{x}^{−\mathrm{n}−\mathrm{1}} } \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\underset{\mathrm{x}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\left\{\frac{\mathrm{n}}{\mathrm{x}^{\mathrm{p}−\mathrm{n}} −\mathrm{x}^{\mathrm{p}−\mathrm{n}−\mathrm{1}} }\right\}=\begin{cases}{\mathrm{n}\:\:\mathrm{si}\:\:\mathrm{p}=\mathrm{n}}\\{+\infty\:\:\mathrm{si}\:\:\mathrm{p}<\mathrm{n}}\\{\mathrm{0}\:\:\mathrm{si}\:\:\mathrm{p}>\mathrm{n}}\end{cases} \\ $$

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