Question Number 117066 by bemath last updated on 09/Oct/20
$$\mathrm{Given}\:\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\:\frac{\mathrm{x}−\mathrm{1}}{\mathrm{x}+\mathrm{1}}\:.\:\mathrm{If}\:\mathrm{f}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{f}\left(\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\right),\: \\ $$$$\mathrm{f}^{\mathrm{3}} \left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{f}\left(\mathrm{f}\left(\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\right)\right)\:,\:\mathrm{f}^{\mathrm{1998}} \left(\mathrm{x}\right)\:=\:\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right) \\ $$$$\mathrm{then}\:\int_{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{e}}} ^{\mathrm{1}} \mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)\:\mathrm{dx}\:=\:\_? \\ $$
Answered by 1549442205PVT last updated on 09/Oct/20
$$\mathrm{f}\:^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}\right)=\frac{\frac{\mathrm{x}−\mathrm{1}}{\mathrm{x}+\mathrm{1}}−\mathrm{1}}{\frac{\mathrm{x}−\mathrm{1}}{\mathrm{x}+\mathrm{1}}+\mathrm{1}}=\frac{−\mathrm{2}}{\mathrm{2x}}=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}} \\ $$$$\mathrm{f}\:^{\mathrm{3}} \left(\mathrm{x}\right)=−\frac{\mathrm{1}}{\frac{\mathrm{x}−\mathrm{1}}{\mathrm{x}+\mathrm{1}}}=−\frac{\mathrm{x}+\mathrm{1}}{\mathrm{x}−\mathrm{1}} \\ $$$$\mathrm{f}\:^{\mathrm{4}} \left(\mathrm{x}\right)=−\frac{\frac{\mathrm{x}−\mathrm{1}}{\mathrm{x}+\mathrm{1}}+\mathrm{1}}{\frac{\mathrm{x}−\mathrm{1}}{\mathrm{x}+\mathrm{1}}−\mathrm{1}}=−\frac{\mathrm{2x}}{−\mathrm{2}}=\mathrm{x} \\ $$$$\mathrm{f}\:^{\mathrm{5}} \left(\mathrm{x}\right)=\frac{\mathrm{x}−\mathrm{1}}{\mathrm{x}+\mathrm{1}}=\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right) \\ $$$$\mathrm{From}\:\mathrm{that}\:\mathrm{we}\:\mathrm{get}\:\mathrm{the}\:\mathrm{sequence} \\ $$$$\mathrm{f}\:\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{f}\:^{\mathrm{5}} \left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{f}\:^{\mathrm{9}} \left(\mathrm{x}\right)=…\mathrm{f}\:^{\mathrm{4k}+\mathrm{1}} \left(\mathrm{x}\right) \\ $$$$\mathrm{Since}\:\mathrm{1998}=\mathrm{4}.\mathrm{499}+\mathrm{2},\mathrm{we}\:\mathrm{infer} \\ $$$$\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{f}\:^{\mathrm{1998}\left(\mathrm{x}\right)} =\mathrm{f}\:^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}\right)=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}.\mathrm{Therefore}, \\ $$$$\int_{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{e}}} ^{\:\mathrm{1}} \mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}=\int_{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{e}}} ^{\:\mathrm{1}} \left(−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}\right)\mathrm{dx}=−\mathrm{ln}\mid\mathrm{x}\mid_{\mathrm{1}/\mathrm{e}} ^{\mathrm{1}} \\ $$$$=\mathrm{ln}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{e}}\right)=\mathrm{ln1}−\mathrm{lne}=\mathrm{0}−\mathrm{1}=−\mathrm{1} \\ $$
Commented by bemath last updated on 09/Oct/20
$$\mathrm{yes}…\mathrm{santuyy} \\ $$