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Given-f-x-x-1-x-2-find-minimum-value-of-function-h-x-f-x-3-x-1-

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Question Number 100032 by bobhans last updated on 24/Jun/20
Given f((x/(x+1))) = x^2 . find minimum value of function h(x)=f(x)−(3/(x−1))
$$\mathrm{Given}\:\mathrm{f}\left(\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{x}+\mathrm{1}}\right)\:=\:\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:.\:\mathrm{find}\:\mathrm{minimum}\:\mathrm{value} \\ $$$$\mathrm{of}\:\mathrm{function}\:\mathrm{h}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{x}−\mathrm{1}} \\ $$
Commented by john santu last updated on 24/Jun/20
let (x/(x+1)) = z ⇒xz+z = x x = (z/(1−z)) ⇒f(z)= (z^2 /((1−z)^2 )) similar to f(x)= (x^2 /((1−x)^2 )) . h(x) = (x^2 /((1−x)^2 )) + (3/(1−x)) h(x) = ((x^2 −3x+3)/((1−x)^2 )) h′(x)= (((2x−3)(1−x)^2 +2(x^2 −3x+3)(1−x))/((1−x)^4 )) = 0 ⇒(1−x){ (2x−3)(1−x)+2x^2 −6x+6 }=0 (1−x){−2x^2 +5x−3+2x^2 −6x+6 }=0 (1−x)(3−x)= 0 , critical point x= 3 min h(3) = (3/4)
$$\mathrm{let}\:\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{x}+\mathrm{1}}\:=\:\mathrm{z}\:\Rightarrow\mathrm{xz}+\mathrm{z}\:=\:\mathrm{x} \\ $$$$\mathrm{x}\:=\:\frac{\mathrm{z}}{\mathrm{1}−\mathrm{z}}\:\Rightarrow\mathrm{f}\left(\mathrm{z}\right)=\:\frac{\mathrm{z}^{\mathrm{2}} }{\left(\mathrm{1}−\mathrm{z}\right)^{\mathrm{2}} }\:\mathrm{similar}\:\mathrm{to} \\ $$$$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\:\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)^{\mathrm{2}} }\:. \\ $$$$\mathrm{h}\left(\mathrm{x}\right)\:=\:\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)^{\mathrm{2}} }\:+\:\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{1}−\mathrm{x}} \\ $$$$\mathrm{h}\left(\mathrm{x}\right)\:=\:\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3x}+\mathrm{3}}{\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\mathrm{h}'\left(\mathrm{x}\right)=\:\frac{\left(\mathrm{2x}−\mathrm{3}\right)\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3x}+\mathrm{3}\right)\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)}{\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)^{\mathrm{4}} }\:=\:\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)\left\{\:\left(\mathrm{2x}−\mathrm{3}\right)\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)+\mathrm{2x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{6x}+\mathrm{6}\:\right\}=\mathrm{0} \\ $$$$\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)\left\{−\mathrm{2x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{5x}−\mathrm{3}+\mathrm{2x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{6x}+\mathrm{6}\:\right\}=\mathrm{0} \\ $$$$\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)\left(\mathrm{3}−\mathrm{x}\right)=\:\mathrm{0}\:,\:\mathrm{critical}\:\mathrm{point}\:\mathrm{x}=\:\mathrm{3} \\ $$$$\mathrm{min}\:\mathrm{h}\left(\mathrm{3}\right)\:=\:\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}} \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 24/Jun/20
let (x/(x+1))=t ⇒x =tx +t ⇒(1−t)x=t ⇒x =(t/(1−t)) ⇒ f(t) =(t^2 /((1−t)^2 )) ⇒f(x) =(x^2 /((x−1)^2 )) =(x^2 /(x^2 −2x+1)) ⇒ g(x) =(x^2 /((x−1)^2 ))−(3/(x−1)) =((x^2 −3(x−1))/((x−1)^2 )) =((x^2 −3x+3)/((x−1)^2 )) g defined on R{1} lim_(x→∞) g(x) =1 and lim_(x→1^− ) g(x) =+∞ =lim_(x→1^+ ) g(x) g^′ (x) =(((2x−3)(x−1)^2 −2(x−1)(x^2 −3x+3))/((x−1)^4 )) =^′ (((2x−3)(x−1)−2(x^2 −3x+3))/((x−1)^3 )) =((2x^2 −5x +3−2x^2 +6x−6)/((x−1)^3 )) =(((x−3)(x−1))/((x−1)^4 )) and g^′ (x) =0 ⇔x =3 x −∞ 1 3 +∞ g^′ (x) + ∣∣ − 0 + g(x) 1 inc +∞ +∞decr g(3) inc 1 g(3) =(3/4) is the minimum value for g
$$\mathrm{let}\:\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{x}+\mathrm{1}}=\mathrm{t}\:\Rightarrow\mathrm{x}\:=\mathrm{tx}\:+\mathrm{t}\:\Rightarrow\left(\mathrm{1}−\mathrm{t}\right)\mathrm{x}=\mathrm{t}\:\Rightarrow\mathrm{x}\:=\frac{\mathrm{t}}{\mathrm{1}−\mathrm{t}}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{f}\left(\mathrm{t}\right)\:=\frac{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }{\left(\mathrm{1}−\mathrm{t}\right)^{\mathrm{2}} }\:\Rightarrow\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\:=\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\:=\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2x}+\mathrm{1}}\:\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)\:=\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{x}−\mathrm{1}}\:=\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3}\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)}{\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\:=\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3x}+\mathrm{3}}{\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\:\mathrm{g}\:\mathrm{defined}\:\mathrm{on}\:\mathrm{R}\left\{\mathrm{1}\right\} \\ $$$$\mathrm{lim}_{\mathrm{x}\rightarrow\infty} \mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)\:=\mathrm{1}\:\:\mathrm{and}\:\mathrm{lim}_{\mathrm{x}\rightarrow\mathrm{1}^{−} } \:\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)\:=+\infty\:=\mathrm{lim}_{\mathrm{x}\rightarrow\mathrm{1}^{+} } \:\:\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right) \\ $$$$\mathrm{g}^{'} \left(\mathrm{x}\right)\:=\frac{\left(\mathrm{2x}−\mathrm{3}\right)\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3x}+\mathrm{3}\right)}{\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{4}} } \\ $$$$=^{'} \frac{\left(\mathrm{2x}−\mathrm{3}\right)\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)−\mathrm{2}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3x}+\mathrm{3}\right)}{\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} }\:=\frac{\mathrm{2x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{5x}\:+\mathrm{3}−\mathrm{2x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{6x}−\mathrm{6}}{\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} } \\ $$$$=\frac{\left(\mathrm{x}−\mathrm{3}\right)\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)}{\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{4}} }\:\:\mathrm{and}\:\mathrm{g}^{'} \left(\mathrm{x}\right)\:=\mathrm{0}\:\Leftrightarrow\mathrm{x}\:=\mathrm{3} \\ $$$$\mathrm{x}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:−\infty\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{1}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{3}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:+\infty \\ $$$$\mathrm{g}^{'} \left(\mathrm{x}\right)\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:+\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mid\mid\:\:\:\:\:\:\:−\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{0}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:+ \\ $$$$\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{1}\:\:\:\:\mathrm{inc}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:+\infty\:\:\:\:+\infty\mathrm{decr}\:\:\mathrm{g}\left(\mathrm{3}\right)\:\:\:\:\mathrm{inc}\:\:\:\:\:\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{g}\left(\mathrm{3}\right)\:=\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}}\:\:\mathrm{is}\:\mathrm{the}\:\mathrm{minimum}\:\mathrm{value}\:\mathrm{for}\:\mathrm{g} \\ $$

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