Question Number 128401 by bramlexs22 last updated on 07/Jan/21
$$\mathrm{Given}\:\mathrm{function}\:\mathrm{f}\left({x}+\mathrm{1}\right)+\mathrm{f}\left({x}−\mathrm{1}\right)={x}^{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{then}\:\mathrm{f}^{−\mathrm{1}} \left({x}\right)\:=\:? \\ $$$$\left({A}\right)\:\pm\sqrt{\mathrm{1}−\mathrm{2}{x}}\:;\:{x}\leqslant\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\left({B}\right)\:\pm\sqrt{{x}+\mathrm{2}}\:;\:{x}\geqslant−\mathrm{2} \\ $$$$\left({C}\right)\:\pm\sqrt{\mathrm{2}{x}+\mathrm{1}}\:;\:{x}\geqslant−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\left({D}\right)\:\pm\sqrt{\mathrm{3}{x}−\mathrm{1}}\:;\:{x}\geqslant\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}} \\ $$$$\left({E}\right)\:\pm\sqrt{\mathrm{2}{x}−\mathrm{1}}\:;\:{x}\geqslant\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}} \\ $$
Answered by liberty last updated on 07/Jan/21
$$\mathrm{let}\:\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{ax}^{\mathrm{2}} +\mathrm{bx}+\mathrm{c} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{f}\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)=\mathrm{ax}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2ax}+\mathrm{bx}+\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{f}\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)=\mathrm{ax}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2ax}+\mathrm{bx}+\mathrm{a}−\mathrm{b}+\mathrm{c} \\ $$$$\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\:− \\ $$$$\:\Rightarrow\mathrm{2ax}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2bx}+\mathrm{2}\left(\mathrm{a}+\mathrm{c}\right)=\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{0x}+\mathrm{0} \\ $$$$\:\begin{cases}{\mathrm{a}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}\\{\mathrm{b}=\mathrm{0}\:;\:\mathrm{c}=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}\end{cases} \\ $$$$\therefore\:\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:;\:\mathrm{x}^{\mathrm{2}} =\mathrm{2y}+\mathrm{1}\: \\ $$$$\Rightarrow\:\mathrm{x}=\pm\sqrt{\mathrm{2y}+\mathrm{1}}\:\Rightarrow\mathrm{f}^{−\mathrm{1}} \left(\mathrm{x}\right)=\pm\sqrt{\mathrm{2x}+\mathrm{1}}\:;\:\mathrm{x}\geqslant−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}} \\ $$