Question Number 164926 by Zaynal last updated on 23/Jan/22
$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\lfloor\boldsymbol{\mathrm{Given}}\:\boldsymbol{\mathrm{positive}}\:\boldsymbol{\mathrm{numbers}}\:\boldsymbol{{a}},\boldsymbol{{b}},\boldsymbol{{c}},\boldsymbol{{d}}\rceil \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\boldsymbol{\mathrm{Prove}}\:\boldsymbol{\mathrm{that}}; \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\lfloor\frac{\boldsymbol{{a}}^{\mathrm{3}} +\boldsymbol{{b}}^{\mathrm{3}} +\boldsymbol{{c}}^{\mathrm{3}} }{\boldsymbol{{a}}+\boldsymbol{{b}}+\boldsymbol{{c}}}\:+\:\frac{\boldsymbol{{b}}^{\mathrm{3}} +\boldsymbol{{c}}^{\mathrm{3}} +\boldsymbol{{d}}^{\mathrm{3}} }{\boldsymbol{{b}}+\boldsymbol{{c}}+\boldsymbol{{d}}}\:+\:\frac{\boldsymbol{{c}}^{\mathrm{3}} +\boldsymbol{{d}}^{\mathrm{3}} +\boldsymbol{{a}}^{\mathrm{3}} }{\boldsymbol{{c}}+\boldsymbol{{d}}+\boldsymbol{{a}}}\:+\:\frac{\boldsymbol{{d}}^{\mathrm{3}} +\boldsymbol{{a}}^{\mathrm{3}} +\boldsymbol{{b}}^{\mathrm{3}} }{\boldsymbol{{d}}+\boldsymbol{{a}}+\boldsymbol{{b}}}\:>\:\boldsymbol{{a}}^{\mathrm{2}} +\boldsymbol{{b}}^{\mathrm{2}} +\boldsymbol{{c}}^{\mathrm{2}} +\boldsymbol{{d}}^{\mathrm{2}} \rfloor \\ $$