Question Number 121219 by ZiYangLee last updated on 06/Nov/20
$$\mathrm{Given}\:\mathrm{that}\:{a},{b}\:\mathrm{and}\:{c}\:\mathrm{are}\:\mathrm{three}\:\mathrm{consecutive} \\ $$$$\mathrm{numbers},\:\mathrm{where}\:{a}>{b}>{c},\:\mathrm{such}\:\mathrm{that}\:\mathrm{its}\:\mathrm{product} \\ $$$$\mathrm{is}\:\mathrm{the}\:\mathrm{same}\:\mathrm{as}\:\mathrm{its}\:\mathrm{sum},\:\mathrm{that}\:\mathrm{is}\:{abc}={a}+{b}+{c}, \\ $$$$\mathrm{how}\:\mathrm{many}\:\mathrm{such}\:\left({a},{b},{c}\right)? \\ $$
Commented by liberty last updated on 06/Nov/20
$$\mathrm{i}\:\mathrm{think}\:\mathrm{it}'\mathrm{s}\:\mathrm{ambiguos}. \\ $$$$\mathrm{abc}=\:\mathrm{a}×\mathrm{b}×\mathrm{c}\:\:\mathrm{or}\:\mathrm{a}×\mathrm{100}+\mathrm{b}×\mathrm{10}+\mathrm{c}\:? \\ $$
Answered by MJS_new last updated on 06/Nov/20
$$\mathrm{consecutive}\:\mathrm{numbers}\:\mathrm{means}\:{a},\:{b},\:{c}\:\in\mathbb{Z} \\ $$$$\Rightarrow\:{b}={a}−\mathrm{1}\wedge{c}={a}−\mathrm{2} \\ $$$${a}\left({a}−\mathrm{1}\right)\left({a}−\mathrm{2}\right)={a}+\left({a}−\mathrm{1}\right)+\left({a}−\mathrm{2}\right) \\ $$$${a}\left({a}−\mathrm{1}\right)\left({a}−\mathrm{2}\right)=\mathrm{3}\left({a}−\mathrm{1}\right) \\ $$$$\left({a}−\mathrm{1}\right)\left({a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}{a}−\mathrm{3}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\left({a}−\mathrm{3}\right)\left({a}−\mathrm{1}\right)\left({a}+\mathrm{1}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\begin{pmatrix}{{a}}\\{{b}}\\{{c}}\end{pmatrix}\:\in\left\{\begin{pmatrix}{−\mathrm{1}}\\{−\mathrm{2}}\\{−\mathrm{3}}\end{pmatrix}\:,\:\begin{pmatrix}{\mathrm{1}}\\{\mathrm{0}}\\{−\mathrm{1}}\end{pmatrix}\:,\:\begin{pmatrix}{\mathrm{3}}\\{\mathrm{2}}\\{\mathrm{1}}\end{pmatrix}\right\} \\ $$$$\mathrm{three}\:\mathrm{triples} \\ $$