Question Number 178357 by Spillover last updated on 15/Oct/22
$$\mathrm{Given}\:\mathrm{that}\:\mathrm{sinh}\:^{−\mathrm{1}} \mathrm{x}=\mathrm{sech}\:^{−\mathrm{1}} \mathrm{x}\:\:\: \\ $$$$\mathrm{show} \\ $$$$\mathrm{x}=\sqrt{\frac{\sqrt{\mathrm{5}}−\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:} \\ $$
Answered by Ar Brandon last updated on 16/Oct/22
$$\mathrm{sinh}^{−\mathrm{1}} {x}=\mathrm{sech}^{−\mathrm{1}} {x} \\ $$$$\varphi=\mathrm{sinh}^{−\mathrm{1}} {x}\:\Rightarrow\mathrm{sinh}\varphi={x} \\ $$$$\mathrm{cosh}^{\mathrm{2}} \varphi−\mathrm{sinh}^{\mathrm{2}} \varphi=\mathrm{1}\:\Rightarrow\mathrm{sech}\varphi=\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{1}+{x}^{\mathrm{2}} }} \\ $$$$\Rightarrow\varphi=\mathrm{sech}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{1}+{x}^{\mathrm{2}} }}\right) \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{sech}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{1}+{x}^{\mathrm{2}} }}\right)=\mathrm{sech}^{−\mathrm{1}} {x} \\ $$$$\Rightarrow\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{1}+{x}^{\mathrm{2}} }}={x}\:\Rightarrow\mathrm{1}={x}^{\mathrm{2}} \left({x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)\:,\:{x}>\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow{x}^{\mathrm{4}} +{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}=\mathrm{0}\:\Rightarrow{x}^{\mathrm{2}} =\frac{−\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{5}}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\Rightarrow{x}=\sqrt{\frac{\sqrt{\mathrm{5}}−\mathrm{1}}{\mathrm{2}}} \\ $$
Commented by Spillover last updated on 16/Oct/22
$$\mathrm{thank}\:\mathrm{you} \\ $$