Given-the-7-element-set-A-a-b-c-d-e-f-g-find-a-collection-T-of-3-element-subsets-of-A-such-that-each-pair-of-elements-from-A-occurs-exactly-in-one-of-the-subsets-of-T-

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Question Number 24366 by Tinkutara last updated on 16/Nov/17

$$\mathrm{Given}\mathrm{the}7-\mathrm{element}\mathrm{set}A=\{a,b,c,$$$$d,e,f,g\},\mathrm{find}\mathrm{a}\mathrm{collection}T\mathrm{of}3-$$$$\mathrm{element}\mathrm{subsets}\mathrm{of}A\mathrm{such}\mathrm{that}\mathrm{each}$$$$\mathrm{pair}\mathrm{of}\mathrm{elements}\mathrm{from}A\mathrm{occurs}\mathrm{exactly}$$$$\mathrm{in}\mathrm{one}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{subsets}\mathrm{of}T.$$

Commented by Rasheed.Sindhi last updated on 18/Nov/17

$$\underset{-}{\mathrm{Questions}\mathrm{imposed}}$$$$\left(\mathrm{i}\right)\mathrm{How}\mathrm{many}\mathrm{such}\mathrm{collections}$$$$\mathrm{can}\mathrm{be}\mathrm{produced}?$$$$\left(\mathrm{ii}\right)\mathrm{How}\mathrm{many}3-\mathrm{membered}$$$$\mathrm{sets}\mathrm{are}\mathrm{necessary}\mathrm{in}\mathrm{order}$$$$\mathrm{to}\mathrm{determine}\mathrm{a}\mathrm{particular}$$$$\mathrm{collection}\mathrm{acquiring}\mathrm{above}$$$$\mathrm{property}?$$

Answered by Rasheed.Sindhi last updated on 17/Nov/17

$$.\underset{-}{\mathrm{Strategy}.}$$$$\mathrm{Possible}\mathrm{pairs}:$$$$\left(\begin{array}{cccccc}\mathrm{ab}& \mathrm{ac}& \mathrm{ad}& \mathrm{ae}& \mathrm{af}& \mathrm{ag}\\ & \mathrm{bc}& \mathrm{bd}& \mathrm{be}& \mathrm{bf}& \mathrm{bg}\\ & & \mathrm{cd}& \mathrm{ce}& \mathrm{cf}& \mathrm{cg}\\ & & & \mathrm{de}& \mathrm{df}& \mathrm{dg}\\ & & & & \mathrm{ef}& \mathrm{eg}\\ & & & & & \mathrm{fg}\end{array}\right)$$$$\mathrm{Take}\mathrm{a}\mathrm{pair}\mathrm{from}\mathrm{above}\mathrm{and}$$$$\mathrm{include}\mathrm{any}\mathrm{member}\mathrm{of}\mathrm{A}(\mathrm{other}$$$$\mathrm{than}\mathrm{members}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{pair})\mathrm{in}$$$$\mathrm{order}\mathrm{to}\mathrm{make}\mathrm{a}\mathrm{set}\mathrm{of}3\mathrm{elements}$$$$\mathrm{For}\mathrm{example}\mathrm{in}\mathrm{pair}\mathrm{a},\mathrm{b}\mathrm{we}\mathrm{can}$$$$\mathrm{include}\mathrm{c},\mathrm{d},\mathrm{e},\mathrm{f}\mathrm{or}\mathrm{g}.\mathrm{Say}{\mathrm{we}}^{\prime }\mathrm{ve}$$$$\mathrm{made}\{\mathrm{a},\mathrm{b},\mathrm{c}\}.\mathrm{From}\mathrm{a},\mathrm{b},\mathrm{c}\mathrm{three}$$$$\mathrm{pairs}\mathrm{can}\mathrm{be}\mathrm{made}\mathrm{ab},\mathrm{bc}\mathrm{and}\mathrm{ac}.$$$$\mathrm{So}\mathrm{cross}\mathrm{out}\mathrm{these}\mathrm{from}\mathrm{the}\mathrm{above}$$$$\mathrm{table}\mathrm{of}\mathrm{pairs}.\mathrm{Next}\mathrm{take}\mathrm{another}$$$$\mathrm{pair}\mathrm{which}\mathrm{is}\mathrm{not}\mathrm{crossed}\mathrm{out}\mathrm{and}$$$$\mathrm{include}\mathrm{an}\mathrm{element}\mathrm{in}\mathrm{it}\mathrm{in}\mathrm{such}$$$$\mathrm{a}\mathrm{way}\mathrm{that}\mathrm{all}\mathrm{the}\mathrm{three}\mathrm{pairs}$$$$\mathrm{produced}(\mathrm{from}\mathrm{the}\mathrm{set}\mathrm{of}\mathrm{three}$$$$\mathrm{elements})\mathrm{are}\mathrm{new}\mathrm{i}-\mathrm{e}\mathrm{not}$$$$\mathrm{crossed}\mathrm{out}.\mathrm{Go}\mathrm{on}\mathrm{till}\mathrm{all}\mathrm{the}$$$$\mathrm{pairs}\mathrm{of}\mathrm{above}\mathrm{table}\mathrm{cross}\mathrm{out}.$$$$$$$$\mathrm{T}=\{\{\mathrm{a},\mathrm{b},\mathrm{c}\},\{\mathrm{a},\mathrm{d},\mathrm{e}\},\{\mathrm{a},\mathrm{f},\mathrm{g}\},\{\mathrm{b},\mathrm{d},\mathrm{f}\},$$$$\{\mathrm{b},\mathrm{e},\mathrm{g}\},\{\mathrm{c},\mathrm{d},\mathrm{g}\},\{\mathrm{c},\mathrm{e},\mathrm{f}\}\}$$

Commented by Tinkutara last updated on 17/Nov/17

$$\mathrm{Thank}\mathrm{you}\mathrm{very}\mathrm{much}\mathrm{Sir}!$$

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