Question Number 83849 by Rio Michael last updated on 06/Mar/20
$$\mathrm{Gven}\:\mathrm{that}\:{y}\:=\:{e}^{−{x}} \mathrm{sin}{bx}\:,\mathrm{where}\:{b}\:\mathrm{is}\:\mathrm{a}\:\mathrm{constant},\mathrm{show}\:\mathrm{that} \\ $$$$\:\frac{{d}^{\mathrm{2}} {y}}{{dx}^{\mathrm{2}} }\:+\:\mathrm{2}\frac{{dy}}{{dx}}\:+\:\left(\mathrm{1}\:+\:{b}^{\mathrm{2}} \right){y}\:=\:\mathrm{0}. \\ $$
Commented by niroj last updated on 06/Mar/20
$$\:\: \\ $$$$\:\:\mathrm{Given}, \\ $$$$\:\:\:\:\mathrm{y}=\:\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} \mathrm{sin}\:\mathrm{bx}….\left(\mathrm{i}\right) \\ $$$$\:\:\:\:\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=\:−\mathrm{1}.\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} .\mathrm{sinbx}+\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} .\mathrm{b}.\mathrm{cos}\:\mathrm{bx} \\ $$$$\:\:\:\:\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=\:−\mathrm{y}+\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} .\mathrm{bcosbx}\:…..\left(\mathrm{ii}\right)\:\left(\because\:\mathrm{y}=\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} \mathrm{sin}\:\mathrm{bx}\right) \\ $$$$\:\:\:\:\frac{\mathrm{d}^{\mathrm{2}} \mathrm{y}}{\mathrm{dx}^{\mathrm{2}} }=\:−\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}+\left(−\mathrm{1}.\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} \mathrm{b}\:\mathrm{cos}\:\mathrm{bx}−\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} \mathrm{b}^{\mathrm{2}} \mathrm{sinbx}\right) \\ $$$$\:\:\:\:\frac{\mathrm{d}^{\mathrm{2}} \mathrm{y}}{\mathrm{dx}^{\mathrm{2}} }=\:−\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}−\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \mathrm{bcosbx}−\mathrm{b}^{\mathrm{2}} \mathrm{y} \\ $$$$\:\:\:\:\frac{\mathrm{d}^{\mathrm{2}} \mathrm{y}}{\mathrm{dx}^{\mathrm{2}} }=\:−\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}−\left(\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}+\mathrm{y}\right)−\mathrm{b}^{\mathrm{2}} \mathrm{y}\:\:\:\left\{\:\:\mathrm{from}..\left(\mathrm{ii}\right)\right\} \\ $$$$\:\:\:\frac{\mathrm{d}^{\mathrm{2}} \mathrm{y}}{\mathrm{dx}^{\mathrm{2}} }=\:−\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}−\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}−\mathrm{y}−\mathrm{b}^{\mathrm{2}} \mathrm{y} \\ $$$$\:\:\:\:\frac{\mathrm{d}^{\mathrm{2}} \mathrm{y}}{\mathrm{dx}^{\mathrm{2}} }=\:−\mathrm{2}\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}−\left(\mathrm{1}+\mathrm{b}^{\mathrm{2}} \right)\mathrm{y} \\ $$$$\:\therefore\:\:\frac{\mathrm{d}^{\mathrm{2}} \mathrm{y}}{\mathrm{dx}^{\mathrm{2}} }+\mathrm{2}\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}+\left(\mathrm{1}+\mathrm{b}^{\mathrm{2}} \right)\mathrm{y}=\mathrm{0}\:\:\mathrm{hence}\:\mathrm{proved}//. \\ $$
Commented by Rio Michael last updated on 06/Mar/20
$${thanks}\:{sir} \\ $$
Commented by niroj last updated on 07/Mar/20
$${you}\:{must}\:{welcome}\:{sir}. \\ $$