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H-n-k-1-n-1-k-show-that-H-2n-H-n-k-1-n-1-2k-1-1-2k-

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Question Number 180899 by alcohol last updated on 19/Nov/22
H_n = Σ_(k=1) ^n (1/k) show that H_(2n) − H_n = Σ_(k=1) ^n ((1/(2k−1))−(1/(2k)))
$${H}_{{n}} \:=\:\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{{k}} \\ $$$${show}\:{that}\:{H}_{\mathrm{2}{n}} \:−\:{H}_{{n}} \:=\:\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}{k}−\mathrm{1}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}{k}}\right) \\ $$
Answered by Frix last updated on 19/Nov/22
H_(2n) =(1/1)+(1/2)+(1/3)+(1/4)+...+(1/(2n))= =(1/1)+(1/3)+...+(1/(2n−1))+(1/2)+(1/4)+...+(1/(2n))= =Σ_(k=1) ^n (1/(2k−1))+Σ_(k=1) ^n (1/(2k))=Σ_(k=1) ^n (1/(2k−1))+(1/2)Σ_(k=1) ^n (1/k) ⇒ H_(2n) −H_n =Σ_(k=1) ^n (1/(2k−1))+(1/2)Σ_(k=1) ^n (1/k)−Σ_(k=1) ^n (1/k)= =Σ_(k=1) ^n (1/(2k−1))−(1/2)Σ_(k=1) ^n (1/k)=Σ_(k=1) ^n (1/(2k−1))−Σ_(k=1) ^n (1/(2k))= =Σ_(k=1) ^n ((1/(2k−1))−(1/(2k)))
$${H}_{\mathrm{2}{n}} =\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}+…+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}{n}}= \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}+…+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}{n}−\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}+…+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}{n}}= \\ $$$$=\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}{k}−\mathrm{1}}+\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}{k}}=\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}{k}−\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{{k}} \\ $$$$\Rightarrow \\ $$$${H}_{\mathrm{2}{n}} −{H}_{{n}} =\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}{k}−\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{{k}}−\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{{k}}= \\ $$$$=\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}{k}−\mathrm{1}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{{k}}=\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}{k}−\mathrm{1}}−\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}{k}}= \\ $$$$=\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}{k}−\mathrm{1}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}{k}}\right) \\ $$

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