Question Number 15942 by Don sai last updated on 15/Jun/17
$$\mathrm{Help}. \\ $$$$\mathrm{solve}\left(\mathrm{x}+\mathrm{2}\right)\mathrm{dy}/\mathrm{dx}=\mathrm{3}−\mathrm{2y}/\mathrm{x} \\ $$
Answered by mrW1 last updated on 16/Jun/17
$$\left(\mathrm{x}+\mathrm{2}\right)\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}+\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{x}}\mathrm{y}=\mathrm{3} \\ $$$$\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}+\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{x}\left(\mathrm{x}+\mathrm{2}\right)}\mathrm{y}=\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{x}+\mathrm{2}} \\ $$$$\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}+\mathrm{p}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{y}=\mathrm{q}\left(\mathrm{x}\right) \\ $$$$\mathrm{p}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{x}\left(\mathrm{x}+\mathrm{2}\right)} \\ $$$$\mathrm{q}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{x}+\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{P}\left(\mathrm{x}\right)=\int\mathrm{p}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}=\int\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{x}\left(\mathrm{x}+\mathrm{2}\right)}\mathrm{dx} \\ $$$$=\int\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}+\mathrm{2}}\right)\mathrm{dx}=\mathrm{ln}\:\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{x}+\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{e}^{−\mathrm{P}\left(\mathrm{x}\right)} =\mathrm{e}^{−\mathrm{ln}\:\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{x}+\mathrm{2}}} =\mathrm{e}^{\mathrm{ln}\:\frac{\mathrm{x}+\mathrm{2}}{\mathrm{x}}} =\frac{\mathrm{x}+\mathrm{2}}{\mathrm{x}} \\ $$$$\mathrm{e}^{\mathrm{P}\left(\mathrm{x}\right)} =\mathrm{e}^{\mathrm{ln}\:\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{x}+\mathrm{2}}} =\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{x}+\mathrm{2}} \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{let}\:\mathrm{y}=\mathrm{c}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{e}^{−\mathrm{P}\left(\mathrm{x}\right)} =\frac{\mathrm{x}+\mathrm{2}}{\mathrm{x}}\mathrm{c}\left(\mathrm{x}\right) \\ $$$$\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=\mathrm{c}'\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{e}^{−\mathrm{P}\left(\mathrm{x}\right)} −\mathrm{c}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{e}^{−\mathrm{P}\left(\mathrm{x}\right)} \mathrm{p}\left(\mathrm{x}\right) \\ $$$$\mathrm{c}'\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{e}^{−\mathrm{P}\left(\mathrm{x}\right)} −\mathrm{c}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{e}^{−\mathrm{P}\left(\mathrm{x}\right)} \mathrm{p}\left(\mathrm{x}\right)+\mathrm{p}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{c}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{e}^{−\mathrm{P}\left(\mathrm{x}\right)} =\mathrm{q}\left(\mathrm{x}\right) \\ $$$$\mathrm{c}'\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{e}^{−\mathrm{P}\left(\mathrm{x}\right)} =\mathrm{q}\left(\mathrm{x}\right) \\ $$$$\mathrm{c}'\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{q}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{e}^{\mathrm{P}\left(\mathrm{x}\right)} =\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{x}+\mathrm{2}}×\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{x}+\mathrm{2}}=\frac{\mathrm{3x}}{\left(\mathrm{x}+\mathrm{2}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{c}\left(\mathrm{x}\right)=\int\mathrm{q}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{e}^{\mathrm{P}\left(\mathrm{x}\right)} \mathrm{dx}=\mathrm{3}\int\frac{\mathrm{x}}{\left(\mathrm{x}+\mathrm{2}\right)^{\mathrm{2}} }\mathrm{dx} \\ $$$$\frac{\mathrm{x}}{\left(\mathrm{x}+\mathrm{2}\right)^{\mathrm{2}} }=\frac{\mathrm{A}}{\mathrm{x}+\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{B}}{\left(\mathrm{x}+\mathrm{2}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\mathrm{x}=\mathrm{Ax}+\mathrm{2A}+\mathrm{B} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{A}=\mathrm{1} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{2A}+\mathrm{B}=\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{B}=−\mathrm{2} \\ $$$$\Rightarrow\frac{\mathrm{x}}{\left(\mathrm{x}+\mathrm{2}\right)^{\mathrm{2}} }=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}+\mathrm{2}}−\frac{\mathrm{2}}{\left(\mathrm{x}+\mathrm{2}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{c}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{3}\int\left[\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}+\mathrm{2}}−\frac{\mathrm{2}}{\left(\mathrm{x}+\mathrm{2}\right)^{\mathrm{2}} }\right]\mathrm{dx} \\ $$$$=\mathrm{3ln}\:\left(\mathrm{x}+\mathrm{2}\right)+\frac{\mathrm{6}}{\mathrm{x}+\mathrm{2}}+\mathrm{C}_{\mathrm{1}} \\ $$$$ \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{y}=\mathrm{c}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{e}^{−\mathrm{P}\left(\mathrm{x}\right)} =\left[\mathrm{3ln}\:\left(\mathrm{x}+\mathrm{2}\right)+\frac{\mathrm{6}}{\mathrm{x}+\mathrm{2}}+\mathrm{C}_{\mathrm{1}} \right]×\frac{\mathrm{x}+\mathrm{2}}{\mathrm{x}} \\ $$$$\mathrm{y}=\frac{\mathrm{3}\left(\mathrm{x}+\mathrm{2}\right)}{\mathrm{x}}\left[\mathrm{ln}\:\left(\mathrm{x}+\mathrm{2}\right)+\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{x}+\mathrm{2}}+\mathrm{C}\right] \\ $$
Commented by Don sai last updated on 15/Jun/17
$$ \\ $$$$\mathrm{Mrw1} \\ $$$$\mathrm{integrating}\:\mathrm{factor}\:\mathrm{is}\:\mathrm{given}\:\mathrm{as}\:\mathrm{e}^{\int\mathrm{p}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}} \\ $$$$\mathrm{so}\:\mathrm{Mr}\:\mathrm{why}\:\mathrm{I}.\mathrm{F}=\mathrm{e}^{−\int\mathrm{p}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}} \\ $$$$\mathrm{explanation}\:\mathrm{plz}. \\ $$
Commented by mrW1 last updated on 15/Jun/17
$$\mathrm{if}\:\mathrm{the}\:\mathrm{equation}\:\mathrm{is}\:\mathrm{given}\:\mathrm{as} \\ $$$$\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}+\mathrm{p}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{y}=\mathrm{q}\left(\mathrm{x}\right) \\ $$$$\mathrm{then}\:\mathrm{y}=\mathrm{c}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{e}^{−\int\mathrm{p}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}} ,\:\mathrm{since} \\ $$$$\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=\mathrm{c}'\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{e}^{−\int\mathrm{p}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}} +\mathrm{c}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{e}^{−\int\mathrm{p}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}} \left[−\mathrm{p}\left(\mathrm{x}\right)\right] \\ $$$$\mathrm{and} \\ $$$$\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}+\mathrm{p}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{y}=\mathrm{c}'\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{e}^{−\int\mathrm{p}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}} +\mathrm{c}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{e}^{−\int\mathrm{p}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}} \left[−\mathrm{p}\left(\mathrm{x}\right)\right]+\mathrm{p}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{c}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{e}^{−\int\mathrm{p}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}} \\ $$$$=\mathrm{c}'\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{e}^{−\int\mathrm{p}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}} =\mathrm{q}\left(\mathrm{x}\right) \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{c}'\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{q}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{e}^{\int\mathrm{p}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{c}\left(\mathrm{x}\right)=\int\mathrm{q}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{e}^{\int\mathrm{p}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}} \mathrm{dx} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{y}=\mathrm{e}^{−\int\mathrm{p}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}} \int\mathrm{q}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{e}^{\int\mathrm{p}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}} \mathrm{dx} \\ $$
Commented by Don sai last updated on 16/Jun/17
$$\mathrm{Thank}\:\mathrm{you} \\ $$