Question Number 64015 by Rio Michael last updated on 12/Jul/19
$$\:{How}\:{can}\:{such}\:{questions}\:{be}\:{solved}.? \\ $$$$\:\:{x}^{\mathrm{2}} −\mid\mathrm{7}\mid\:+\mathrm{10}=\mathrm{0} \\ $$$$\:\:{x}^{\mathrm{2}} −\mid{x}\mid−\mathrm{6}>\mathrm{0} \\ $$$$\:\: \\ $$
Answered by MJS last updated on 12/Jul/19
$${x}^{\mathrm{2}} −\mid{x}\mid−\mathrm{6}=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{case}\:\mathrm{1}:\:{x}<\mathrm{0}\:\Rightarrow\:\mid{x}\mid=−{x} \\ $$$${x}^{\mathrm{2}} +{x}−\mathrm{6}=\mathrm{0}\:\Rightarrow\:{x}=−\mathrm{3}\vee{x}=\mathrm{2}\:\mathrm{but}\:{x}<\mathrm{0}\:\Rightarrow\:{x}=−\mathrm{3} \\ $$$$\mathrm{case}\:\mathrm{2}:\:{x}\geqslant\mathrm{0}\:\Rightarrow\:\mid{x}\mid={x} \\ $$$${x}^{\mathrm{2}} −{x}−\mathrm{6}=\mathrm{0}\:\Rightarrow\:{x}=−\mathrm{2}\vee{x}=\mathrm{3}\:\mathrm{but}\:{x}\geqslant\mathrm{0}\:\Rightarrow\:{x}=\mathrm{3} \\ $$$$ \\ $$$${x}^{\mathrm{2}} −\mid{x}\mid−\mathrm{6}=\mathrm{0}\:\Rightarrow\:{x}=\pm\mathrm{3} \\ $$$${x}^{\mathrm{2}} −\mid{x}\mid−\mathrm{6}>\mathrm{0}\:\Rightarrow\:{x}<−\mathrm{3}\vee{x}>\mathrm{3} \\ $$
Commented by Rio Michael last updated on 12/Jul/19
$${does}\:{it}\:{also}\:{apply}\:{to}\:{x}^{\mathrm{2}} +\mid\mathrm{7}{x}\mid+\mathrm{10}=\mathrm{0}? \\ $$
Commented by MJS last updated on 12/Jul/19
$${x}^{\mathrm{2}} +\mid\mathrm{7}{x}\mid+\mathrm{10}=\mathrm{0} \\ $$$${x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{7}\mid{x}\mid+\mathrm{10}=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{case}\:\mathrm{1}\:{x}<\mathrm{0}\:\Rightarrow\:\mid{x}\mid=−{x} \\ $$$${x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{7}{x}+\mathrm{10}=\mathrm{0}\:\Rightarrow\:{x}=\mathrm{2}\vee{x}=\mathrm{5}\:\mathrm{but}\:{x}<\mathrm{0}\:\Rightarrow\:\mathrm{no}\:\mathrm{solution} \\ $$$$\mathrm{case}\:\mathrm{2}\:{x}\geqslant\mathrm{0}\:\Rightarrow\:\mid{x}\mid={x} \\ $$$${x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{7}{x}+\mathrm{10}=\mathrm{0}\:\Rightarrow\:{x}=−\mathrm{2}\vee{x}=−\mathrm{5}\:\mathrm{but}\:{x}\geqslant\mathrm{0}\:\Rightarrow\:\mathrm{no}\:\mathrm{solution} \\ $$$$\mathrm{the}\:\mathrm{absolute}\:\mathrm{minimum}\:\mathrm{of}\:{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{7}\mid{x}\mid+\mathrm{10}\:\mathrm{is}\:\mathrm{10} \\ $$
Commented by MJS last updated on 12/Jul/19
$$\mathrm{we}\:\mathrm{might}\:\mathrm{get}\:\mathrm{complex}\:\mathrm{solutions} \\ $$$${x}={a}+{b}\mathrm{i} \\ $$$$\mathrm{leads}\:\mathrm{to} \\ $$$$\left({a}+{b}\mathrm{i}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{7}\mid{a}+{b}\mathrm{i}\mid+\mathrm{10}=\mathrm{0} \\ $$$${a}^{\mathrm{2}} −{b}^{\mathrm{2}} +\mathrm{7}\sqrt{{a}^{\mathrm{2}} +{b}^{\mathrm{2}} }+\mathrm{10}+\mathrm{2}{ab}\mathrm{i}=\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\:{a}^{\mathrm{2}} −{b}^{\mathrm{2}} +\mathrm{7}\sqrt{{a}^{\mathrm{2}} +{b}^{\mathrm{2}} }+\mathrm{10}=\mathrm{0}\wedge\mathrm{2}{ab}\mathrm{i}=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{2}{ab}\mathrm{i}=\mathrm{0}\:\Rightarrow\:{a}=\mathrm{0}\vee{b}=\mathrm{0} \\ $$$${a}=\mathrm{0} \\ $$$$−\mathrm{b}^{\mathrm{2}} +\mathrm{7}\mid{b}\mid+\mathrm{10}=\mathrm{0}\:\Rightarrow\:\mathrm{again}\:\mathrm{2}\:\mathrm{cases}\:\Rightarrow \\ $$$$\Rightarrow\:{b}=−\frac{\mathrm{7}}{\mathrm{2}}−\frac{\sqrt{\mathrm{89}}}{\mathrm{2}}\vee{b}=\frac{\mathrm{7}}{\mathrm{2}}+\frac{\sqrt{\mathrm{89}}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\Rightarrow\:{x}=\pm\left(\frac{\mathrm{7}}{\mathrm{2}}+\frac{\sqrt{\mathrm{89}}}{\mathrm{2}}\right)\mathrm{i} \\ $$$$ \\ $$$${b}=\mathrm{0}\:\mathrm{leads}\:\mathrm{to}\:\mathrm{the}\:\mathrm{above}\:\mathrm{equation}\:\mathrm{only}\:\mathrm{with} \\ $$$${a}\:\mathrm{instead}\:\mathrm{of}\:{x}\:\Rightarrow\:\mathrm{no}\:\mathrm{real}\:\mathrm{solutions} \\ $$
Commented by Rio Michael last updated on 12/Jul/19
$${thank}\:{you} \\ $$