Question Number 174512 by ahdal last updated on 03/Aug/22
$${how}\:{many}\:{integer}\:{a},{b}\in{z}^{+} \\ $$$${a}^{\mathrm{5}} −{b}^{\mathrm{5}} =\mathrm{10}\left({b}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{9} \\ $$$$ \\ $$
Answered by MJS_new last updated on 03/Aug/22
$${a}^{\mathrm{5}} ={b}^{\mathrm{5}} +\mathrm{10}{b}^{\mathrm{2}} +\mathrm{20}{b}+\mathrm{1} \\ $$$${b}>\mathrm{0}\:\Rightarrow\:{a}>{b}\:\Rightarrow\:{a}={b}+{n}\wedge{n}\in\mathbb{N}^{\bigstar} \\ $$$$\left({b}+{n}\right)^{\mathrm{5}} ={b}^{\mathrm{5}} +\mathrm{10}{b}^{\mathrm{2}} +\mathrm{20}{b}+\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{5}{b}^{\mathrm{4}} {n}+\mathrm{10}{b}^{\mathrm{3}} {n}^{\mathrm{2}} +\mathrm{10}{b}^{\mathrm{2}} {n}^{\mathrm{3}} +\mathrm{5}{bn}^{\mathrm{4}} +{n}^{\mathrm{5}} =\mathrm{10}{b}^{\mathrm{2}} +\mathrm{20}{b}+\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{since}\:{b}\geqslant\mathrm{1}\wedge{n}\geqslant\mathrm{1}\:\mathrm{it}'\mathrm{s}\:\mathrm{obvious}\:\mathrm{that}\:\mathrm{the}\:\mathrm{lhs}\:\mathrm{is} \\ $$$$\mathrm{greater}\:\mathrm{than}\:\mathrm{the}\:\mathrm{rhs}\:\mathrm{for}\:\mathrm{higher}\:\mathrm{values}\:\mathrm{of} \\ $$$$\mathrm{both}\:{b}\:\mathrm{or}\:{n}.\:\mathrm{the}\:\mathrm{only}\:\mathrm{solution}\:\mathrm{is} \\ $$$${b}=\mathrm{1}\wedge{n}=\mathrm{1}\:\Rightarrow\:{a}=\mathrm{2} \\ $$