Question Number 116163 by harckinwunmy last updated on 01/Oct/20
$$\mathrm{I}\:\mathrm{need}\:\mathrm{a}\:\mathrm{general}\:\mathrm{rule}\:\mathrm{for}\:\mathrm{factorising} \\ $$$$\left.\mathrm{1}\right)\:\mathrm{a}^{\mathrm{n}} +\mathrm{b}^{\mathrm{n}} \\ $$$$\left.\mathrm{2}\right)\:\mathrm{a}^{\mathrm{n}} −\mathrm{b}^{\mathrm{n}} \\ $$$$\mathrm{when}\:\mathrm{n}\:\mathrm{is}\:\mathrm{even}\:\mathrm{and}\:\mathrm{when}\:\mathrm{n}\:\mathrm{is}\:\mathrm{odd}. \\ $$
Answered by 1549442205PVT last updated on 02/Oct/20
$$\mathrm{I}\:\mathrm{need}\:\mathrm{a}\:\mathrm{general}\:\mathrm{rule}\:\mathrm{for}\:\mathrm{factorising} \\ $$$$\left.\mathrm{1}\right)\:\mathrm{a}^{\mathrm{n}} +\mathrm{b}^{\mathrm{n}} \\ $$$$\left.\mathrm{2}\right)\:\mathrm{a}^{\mathrm{n}} −\mathrm{b}^{\mathrm{n}} \\ $$$$\mathrm{when}\:\mathrm{n}\:\mathrm{is}\:\mathrm{even}\:\mathrm{and}\:\mathrm{when}\:\mathrm{n}\:\mathrm{is}\:\mathrm{odd}. \\ $$$$\left.\mathrm{i}\right)\mathrm{when}\:\mathrm{n}\:\mathrm{is}\:\mathrm{even}\::\mathrm{n}=\mathrm{2k}\:\mathrm{we}\:\mathrm{have} \\ $$$$\left.\mathrm{1}\right)\mathrm{a}^{\mathrm{2k}} +\mathrm{b}^{\mathrm{2k}} =\left(\mathrm{a}^{\mathrm{k}} +\mathrm{b}^{\mathrm{k}} \right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{2a}^{\mathrm{k}} \mathrm{b}^{\mathrm{k}} \\ $$$$\left(\mathrm{a}^{\mathrm{k}} +\sqrt{\mathrm{2a}^{\mathrm{k}} \mathrm{b}^{\mathrm{k}} }\:+\mathrm{b}^{\mathrm{k}} \right)\left(\mathrm{a}^{\mathrm{k}} −\sqrt{\mathrm{2a}^{\mathrm{k}} \mathrm{b}^{\mathrm{k}} }\:+\mathrm{b}^{\mathrm{k}} \right) \\ $$$$\left.\mathrm{2}\right)\mathrm{a}^{\mathrm{2k}} −\mathrm{b}^{\mathrm{2k}} =\left(\mathrm{a}^{\mathrm{k}} +\mathrm{b}^{\mathrm{k}} \right)\left(\mathrm{a}^{\mathrm{k}} −\mathrm{b}^{\mathrm{k}} \right) \\ $$$$=\left(\mathrm{a}^{\mathrm{k}} +\mathrm{b}^{\mathrm{k}} \right)\left(\mathrm{a}−\mathrm{b}\right)\left(\mathrm{a}^{\mathrm{k}−\mathrm{1}} +\mathrm{a}^{\mathrm{k}−\mathrm{2}} \mathrm{b}+\mathrm{a}^{\mathrm{k}−\mathrm{3}} \mathrm{b}^{\mathrm{2}} \right. \\ $$$$\left.+…+\mathrm{b}^{\mathrm{k}−\mathrm{1}} \right) \\ $$$$\left.\mathrm{ii}\right)\mathrm{When}\:\mathrm{n}\:\mathrm{is}\:\mathrm{odd}\::\mathrm{n}=\mathrm{2k}+\mathrm{1}\:\mathrm{we}\:\mathrm{have} \\ $$$$\left.\mathrm{1}\right)\mathrm{a}^{\mathrm{2k}+\mathrm{1}} +\mathrm{b}^{\mathrm{2k}+\mathrm{1}} =\left(\mathrm{a}+\mathrm{b}\right)\left(\mathrm{a}^{\mathrm{2k}} −\mathrm{a}^{\mathrm{2k}−\mathrm{1}} \mathrm{b}\right. \\ $$$$\left.+\mathrm{a}^{\mathrm{2k}−\mathrm{2}} \mathrm{b}^{\mathrm{2}} −…+\mathrm{b}^{\mathrm{2k}} \right) \\ $$$$\left.\mathrm{2}\right)\mathrm{a}^{\mathrm{2k}+\mathrm{1}} −\mathrm{b}^{\mathrm{2k}+\mathrm{1}} =\left(\mathrm{a}−\mathrm{b}\right)\left(\mathrm{a}^{\mathrm{2k}} +\mathrm{a}^{\mathrm{2k}−\mathrm{1}} \mathrm{b}+\right. \\ $$$$\left….+\mathrm{ab}^{\mathrm{2k}−\mathrm{1}} +\mathrm{b}^{\mathrm{2k}} \right) \\ $$