Question Number 122007 by ZiYangLee last updated on 13/Nov/20
$$\mathrm{i}.\:\mathrm{Prove}\:\mathrm{that}\:\mathrm{sin}\:\mathrm{3}{A}=\mathrm{3sin}\:{A}−\mathrm{4sin}^{\mathrm{3}} {A}. \\ $$$$\mathrm{ii}.\mathrm{Show}\:\mathrm{that}\:\theta=\mathrm{54}°\:\mathrm{satisfies}\:\mathrm{the}\:\mathrm{equation} \\ $$$$\mathrm{sin}\:\mathrm{3}\theta=−\mathrm{cos}\:\mathrm{2}\theta.\:\mathrm{Hence}\:\mathrm{or}\:\mathrm{otherwise},\: \\ $$$$\mathrm{find}\:\mathrm{the}\:\mathrm{value}\:\mathrm{of}\:\mathrm{sin}\:\mathrm{54}°. \\ $$
Answered by TANMAY PANACEA last updated on 13/Nov/20
$${sin}\left(\mathrm{3}{A}\right)={sin}\mathrm{2}{AcosA}+{cos}\mathrm{2}{AsinA} \\ $$$$=\mathrm{2}{sinA}\left(\mathrm{1}−{sin}^{\mathrm{2}} {A}\right)+\left(\mathrm{1}−\mathrm{2}{sin}^{\mathrm{2}} {A}\right){sinA} \\ $$$$=\mathrm{2}{s}−\mathrm{2}{s}^{\mathrm{3}} +{s}−\mathrm{2}{s}^{\mathrm{3}} =\mathrm{3}{s}−\mathrm{4}{s}^{\mathrm{3}} \:\:\left[{s}={sinA}\right] \\ $$
Answered by TANMAY PANACEA last updated on 13/Nov/20
$${LHS}\:{sin}\left(\mathrm{3}×\mathrm{54}\right)={sin}\left(\mathrm{162}\right)={sin}\left(\mathrm{180}−\mathrm{18}\right)={sin}\mathrm{18} \\ $$$${RHS}\:−{cos}\left(\mathrm{108}\right)=−{cos}\left(\mathrm{90}+\mathrm{18}\right)=−\left(−{sin}\mathrm{18}\right)={sin}\mathrm{18} \\ $$$${so}\:{sin}\mathrm{3}\theta=−{cos}\mathrm{2}\theta\:{proved} \\ $$$${sin}\mathrm{54}=\mathrm{3}{sin}\mathrm{18}−\mathrm{4}{sin}^{\mathrm{3}} \mathrm{18} \\ $$$${sin}\mathrm{54}=\mathrm{3}\left(\frac{\sqrt{\mathrm{5}}\:−\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\right)−\mathrm{4}\left(\frac{\sqrt{\mathrm{5}}\:−\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\right)^{\mathrm{3}} \\ $$
Answered by $@y@m last updated on 13/Nov/20
$$\left({i}\right)\:\mathrm{sin}\:\left({x}+{y}\right)=\mathrm{sin}\:{x}\mathrm{cos}\:{y}+\mathrm{cos}\:{x}\mathrm{sin}\:{y} \\ $$$${Put}\:{x}=\mathrm{2}{A},\:{y}={A} \\ $$$$\mathrm{sin}\:\mathrm{3}{A}=\mathrm{sin}\:\mathrm{2}{A}\mathrm{cos}\:{A}+\mathrm{cos}\:\mathrm{2}{A}\mathrm{sin}\:{A} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:=\left(\mathrm{2sin}{A}\mathrm{cos}\:{A}\right)\mathrm{cos}\:{A}+\left(\mathrm{1}−\mathrm{2sin}\:^{\mathrm{2}} {A}\right)\mathrm{sin}\:{A} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:=\mathrm{2sin}{A}\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} {A}+\mathrm{sin}\:{A}−\mathrm{2sin}^{\mathrm{3}} {A} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:=\mathrm{2sin}{A}\left(\mathrm{1}−\mathrm{sin}\:^{\mathrm{2}} {A}\right)+\mathrm{sin}\:{A}−\mathrm{2sin}^{\mathrm{3}} {A} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:=\mathrm{2sin}{A}−\mathrm{2sin}^{\mathrm{3}} {A}+\mathrm{sin}\:{A}−\mathrm{2sin}^{\mathrm{3}} {A} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:=\mathrm{3sin}{A}−\mathrm{4sin}^{\mathrm{3}} {A}\: \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\blacksquare\blacksquare\blacksquare \\ $$$$\left({ii}\right)\:\mathrm{sin}\:\left(\mathrm{3}×\mathrm{54}\right)=\mathrm{sin}\:\mathrm{162}=\mathrm{sin}\:\left(\mathrm{180}−\mathrm{18}\right)=\mathrm{sin}\:\mathrm{18} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:−\mathrm{cos}\:\left(\mathrm{2}×\mathrm{54}\right)=−\mathrm{cos}\:\mathrm{108}=−\mathrm{cos}\:\left(\mathrm{90}+\mathrm{18}\right)=\mathrm{sin}\:\mathrm{18} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\blacksquare\blacksquare\blacksquare \\ $$$$\mathrm{sin}\:\mathrm{54}=\mathrm{sin}\:\left(\mathrm{3}×\mathrm{18}\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\mathrm{3sin}\:\mathrm{18}−\mathrm{4sin}\:^{\mathrm{3}} \mathrm{18} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\mathrm{sin}\:\mathrm{18}\left(\mathrm{3}−\mathrm{4sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{18}\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\:\frac{\sqrt{\mathrm{5}}−\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\left\{\mathrm{3}−\mathrm{4}×\frac{\mathrm{5}+\mathrm{1}−\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{5}}}{\mathrm{16}}\right\} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\:\frac{\sqrt{\mathrm{5}}−\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\left\{\mathrm{3}−\frac{\mathrm{6}−\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{5}}}{\mathrm{4}}\right\} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\:\frac{\sqrt{\mathrm{5}}−\mathrm{1}}{\mathrm{4}}×\frac{\mathrm{6}+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{5}}}{\mathrm{4}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\:\frac{\mathrm{6}\sqrt{\mathrm{5}}−\mathrm{6}+\mathrm{10}−\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{5}}}{\mathrm{16}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\:\frac{\mathrm{4}+\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{5}}}{\mathrm{16}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\frac{\sqrt{\mathrm{5}}+\mathrm{1}}{\mathrm{4}} \\ $$
Commented by ZiYangLee last updated on 16/Nov/20
$$\mathrm{thanks}! \\ $$