Question Number 190784 by mnjuly1970 last updated on 11/Apr/23
$$ \\ $$$$\:\:\mathrm{If}\:,\:\mathrm{0}\:\dashrightarrow\:\mathrm{M}'\:\overset{{f}} {\dashrightarrow}\mathrm{M}\overset{{g}} {\dashrightarrow}\mathrm{M}''\dashrightarrow\mathrm{0}\:\mathrm{is} \\ $$$$\:\:\:\:\mathrm{a}\:\mathrm{short}\:\mathrm{exact}\:\mathrm{sequence}\:\:\mathrm{and}\:\:\mathrm{M}'\:,\:\mathrm{M}''\:\mathrm{are} \\ $$$$\:\:\:\mathrm{two}\:\:\mathrm{finitely}\:\mathrm{generated}\:\:\mathrm{R}\:−\mathrm{modules} \\ $$$$\:\:\:\mathrm{then}\:\:\mathrm{prove}\:\:\:\mathrm{M}\:\:\mathrm{is}\:\:\mathrm{finitely}\:\mathrm{generated}.\: \\ $$$$\:\:\:\mathrm{Hint}:\:\:{f}\:\:,\:\:{g}\:\:\:{are}\:\:{two}\:\:\:{R}\:−\:{homomorphism}. \\ $$