If-1-sin-x-sin-2-x-sin-3-x-4-2-3-0-lt-x-lt-pi-Find-the-value-of-x-

Question Number 177933 by Spillover last updated on 11/Oct/22

If 1+sin x+sin^2 x+sin^3 x+...∞ =4+2(√3) ,0<x<π Find the value of x

$$\mathrm{If}\:\mathrm{1}+\mathrm{sin}\:\mathrm{x}+\mathrm{sin}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{x}+\mathrm{sin}\:^{\mathrm{3}} \mathrm{x}+…\infty \\ $$$$=\mathrm{4}+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{3}}\:\:,\mathrm{0}<\mathrm{x}<\pi\:\mathrm{Find}\:\mathrm{the}\:\mathrm{value}\:\mathrm{of}\:\mathrm{x} \\ $$$$ \\ $$

Answered by Ar Brandon last updated on 11/Oct/22

1+sinx+sin^2 x+sin^3 x+∙∙∙=(1/(1−sinx))=4+2(√3) ⇒(1/(1−sinx))=2(2+(√3))=(2/(2−(√3)))=(1/(1−((√3)/2))) ⇒sinx=((√3)/2) ⇒x=(π/3), ((2π)/3)

$$\mathrm{1}+\mathrm{sin}{x}+\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} {x}+\mathrm{sin}^{\mathrm{3}} {x}+\centerdot\centerdot\centerdot=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−\mathrm{sin}{x}}=\mathrm{4}+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{3}} \\ $$$$\Rightarrow\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−\mathrm{sin}{x}}=\mathrm{2}\left(\mathrm{2}+\sqrt{\mathrm{3}}\right)=\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{2}−\sqrt{\mathrm{3}}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{sin}{x}=\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\:\Rightarrow{x}=\frac{\pi}{\mathrm{3}},\:\frac{\mathrm{2}\pi}{\mathrm{3}} \\ $$

Commented by Spillover last updated on 11/Oct/22

$${thanks}\:{for}\:{solving} \\ $$

Answered by Rasheed.Sindhi last updated on 11/Oct/22

1+sin x+sin^2 x+sin^3 x+...∞=4+2(√3) sin x+sin^2 x+sin^3 x+...∞=3+2(√3) sin x(1+sin x+sin^2 x+sin^3 x+...∞)=3+2(√3) sin x(4+2(√3))=3+2(√3) sin x=((3+2(√3))/(4+2(√3)))∙((4−2(√3))/(4−2(√3)))=((12−4(3)+8(√3) −6(√3))/(16−4(3))) sin x=((2(√3))/4)=((√3)/2)⇒x=60°,120°

$$\mathrm{1}+\mathrm{sin}\:\mathrm{x}+\mathrm{sin}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{x}+\mathrm{sin}\:^{\mathrm{3}} \mathrm{x}+…\infty=\mathrm{4}+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{3}} \\ $$$$\mathrm{sin}\:\mathrm{x}+\mathrm{sin}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{x}+\mathrm{sin}\:^{\mathrm{3}} \mathrm{x}+…\infty=\mathrm{3}+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{3}} \\ $$$$\mathrm{sin}\:\mathrm{x}\left(\mathrm{1}+\mathrm{sin}\:\mathrm{x}+\mathrm{sin}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{x}+\mathrm{sin}\:^{\mathrm{3}} \mathrm{x}+…\infty\right)=\mathrm{3}+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{3}} \\ $$$$\mathrm{sin}\:\mathrm{x}\left(\mathrm{4}+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{3}}\right)=\mathrm{3}+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{3}}\: \\ $$$$\mathrm{sin}\:\mathrm{x}=\frac{\mathrm{3}+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{4}+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{3}}}\centerdot\frac{\mathrm{4}−\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{4}−\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{3}}}=\frac{\mathrm{12}−\mathrm{4}\left(\mathrm{3}\right)+\mathrm{8}\sqrt{\mathrm{3}}\:−\mathrm{6}\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{16}−\mathrm{4}\left(\mathrm{3}\right)} \\ $$$$\mathrm{sin}\:\mathrm{x}=\frac{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{4}}=\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\Rightarrow\mathrm{x}=\mathrm{60}°,\mathrm{120}° \\ $$

Commented by Spillover last updated on 11/Oct/22

$$\mathrm{nice}\:\mathrm{solution} \\ $$

Facebook Tweet Pin

If-1-sin-x-sin-2-x-sin-3-x-4-2-3-0-lt-x-lt-pi-Find-the-value-of-x-

Leave a Reply Cancel reply