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If-19-sin-2x-37-cos-2x-38-sin-2-x-then-tan-x-

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Question Number 116832 by bemath last updated on 07/Oct/20
If 19 sin 2x = 37 cos 2x+38 sin^2 x then tan x = __
$$\mathrm{If}\:\mathrm{19}\:\mathrm{sin}\:\mathrm{2x}\:=\:\mathrm{37}\:\mathrm{cos}\:\mathrm{2x}+\mathrm{38}\:\mathrm{sin}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{x} \\ $$$$\mathrm{then}\:\mathrm{tan}\:\mathrm{x}\:=\:\_\_ \\ $$
Answered by bobhans last updated on 07/Oct/20
⇒19 sin 2x = 37 cos 2x+38sin^2 x ⇒19 sin 2x−38sin^2 x = 37(cos^2 x−sin^2 x) ⇒38sin xcos x−38sin^2 x=37(cos x−sin x)(cos x+sin x) ⇒38sin x(cos x−sin x)=37(cos x−sin x)(cos x+sin x) ⇒(cos x−sin x)(38sin x−(37cos x+37sin x))=0 ⇒(cos x−sin x)(sin x−37cos x)=0 { ((cos x=sin x⇒tan x=1)),((sin x=37cos x ⇒tan x = 37)) :}
$$\Rightarrow\mathrm{19}\:\mathrm{sin}\:\mathrm{2x}\:=\:\mathrm{37}\:\mathrm{cos}\:\mathrm{2x}+\mathrm{38sin}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{x} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{19}\:\mathrm{sin}\:\mathrm{2x}−\mathrm{38sin}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{x}\:=\:\mathrm{37}\left(\mathrm{cos}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{x}−\mathrm{sin}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{x}\right) \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{38sin}\:\mathrm{xcos}\:\mathrm{x}−\mathrm{38sin}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{x}=\mathrm{37}\left(\mathrm{cos}\:\mathrm{x}−\mathrm{sin}\:\mathrm{x}\right)\left(\mathrm{cos}\:\mathrm{x}+\mathrm{sin}\:\mathrm{x}\right) \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{38sin}\:\mathrm{x}\left(\mathrm{cos}\:\mathrm{x}−\mathrm{sin}\:\mathrm{x}\right)=\mathrm{37}\left(\mathrm{cos}\:\mathrm{x}−\mathrm{sin}\:\mathrm{x}\right)\left(\mathrm{cos}\:\mathrm{x}+\mathrm{sin}\:\mathrm{x}\right) \\ $$$$\Rightarrow\left(\mathrm{cos}\:\mathrm{x}−\mathrm{sin}\:\mathrm{x}\right)\left(\mathrm{38sin}\:\mathrm{x}−\left(\mathrm{37cos}\:\mathrm{x}+\mathrm{37sin}\:\mathrm{x}\right)\right)=\mathrm{0}\: \\ $$$$\Rightarrow\left(\mathrm{cos}\:\mathrm{x}−\mathrm{sin}\:\mathrm{x}\right)\left(\mathrm{sin}\:\mathrm{x}−\mathrm{37cos}\:\mathrm{x}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\begin{cases}{\mathrm{cos}\:\mathrm{x}=\mathrm{sin}\:\mathrm{x}\Rightarrow\mathrm{tan}\:\mathrm{x}=\mathrm{1}}\\{\mathrm{sin}\:\mathrm{x}=\mathrm{37cos}\:\mathrm{x}\:\Rightarrow\mathrm{tan}\:\mathrm{x}\:=\:\mathrm{37}}\end{cases} \\ $$
Answered by MJS_new last updated on 07/Oct/20
t=tan x ⇔ x=arctan t ((38t)/(t^2 +1))=−((37(t^2 −1))/(t^2 +1))+((38t^2 )/(t^2 +1)) t^2 −38t+37=0 ⇒ t=1∨t=37 ⇒ tan x =1∨ tan x =37
$${t}=\mathrm{tan}\:{x}\:\Leftrightarrow\:{x}=\mathrm{arctan}\:{t} \\ $$$$\frac{\mathrm{38}{t}}{{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}=−\frac{\mathrm{37}\left({t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)}{{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{38}{t}^{\mathrm{2}} }{{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}} \\ $$$${t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{38}{t}+\mathrm{37}=\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\:{t}=\mathrm{1}\vee{t}=\mathrm{37} \\ $$$$\Rightarrow\:\mathrm{tan}\:{x}\:=\mathrm{1}\vee\:\mathrm{tan}\:{x}\:=\mathrm{37} \\ $$
Commented by bobhans last updated on 07/Oct/20
your are amazing sir. i want learn from you
$$\mathrm{your}\:\mathrm{are}\:\mathrm{amazing}\:\mathrm{sir}.\:\mathrm{i}\:\mathrm{want}\:\mathrm{learn}\:\mathrm{from}\:\mathrm{you} \\ $$
Answered by malwaan last updated on 07/Oct/20
19[2sinx cosx]=37[cos^2 x− sin^2 x ]+ 38sin^2 x ⇒38sinxcosx=37cos^2 x+sin^2 x ∴ sin^2 x−38sinxcosx+37cos^2 x=0 (sinx−cosx)(sinx−37cosx)=0 sinx−cosx=0⇒tanx=1 sinx−37cosx=0⇒tanx=37
$$\mathrm{19}\left[\mathrm{2}{sinx}\:{cosx}\right]=\mathrm{37}\left[{cos}^{\mathrm{2}} {x}−\right. \\ $$$$\left.{sin}^{\mathrm{2}} {x}\:\right]+\:\mathrm{38}{sin}^{\mathrm{2}} {x} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{38}{sinxcosx}=\mathrm{37}{cos}^{\mathrm{2}} {x}+{sin}^{\mathrm{2}} {x} \\ $$$$\therefore\:{sin}^{\mathrm{2}} {x}−\mathrm{38}{sinxcosx}+\mathrm{37}{cos}^{\mathrm{2}} {x}=\mathrm{0} \\ $$$$\left({sinx}−{cosx}\right)\left({sinx}−\mathrm{37}{cosx}\right)=\mathrm{0} \\ $$$${sinx}−{cosx}=\mathrm{0}\Rightarrow{tanx}=\mathrm{1} \\ $$$${sinx}−\mathrm{37}{cosx}=\mathrm{0}\Rightarrow{tanx}=\mathrm{37} \\ $$

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