Question Number 96829 by bobhans last updated on 05/Jun/20
$$\mathrm{If}\:\mathrm{2f}\left(\mathrm{x}\right)\:+\:\mathrm{f}\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)\:=\:\mathrm{x}^{\mathrm{2}} .\:\mathrm{determine}\:\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right) \\ $$
Commented by john santu last updated on 05/Jun/20
$$\mathrm{replace}\:\mathrm{x}\:\mathrm{by}\:\mathrm{1}−\mathrm{x}\:\mathrm{into}\:\mathrm{eq}\left(\mathrm{1}\right) \\ $$$$\left(\mathrm{2}\right)\:\mathrm{2f}\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)\:+\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\:=\:\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)^{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{2f}\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)\:+\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\:=\:\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2x}+\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{multiply}\:\mathrm{eq}\:\left(\mathrm{1}\right)\:\mathrm{by}\:\mathrm{2}\: \\ $$$$\left(\mathrm{1}\right)\:\mathrm{2f}\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)+\mathrm{4f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{2x}^{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{subtract}\:\mathrm{eq}\left(\mathrm{2}\right)\:\mathrm{by}\:\mathrm{eq}\left(\mathrm{1}\right) \\ $$$$\mathrm{3f}\left(\mathrm{x}\right)\:=\:\mathrm{2x}^{\mathrm{2}} −\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2x}+\mathrm{1}\right) \\ $$$$\mathrm{3f}\left(\mathrm{x}\right)\:=\:\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2x}−\mathrm{1} \\ $$$$\therefore\:\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\:=\:\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2x}−\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\:. \\ $$