Question Number 181707 by amin96 last updated on 28/Nov/22
$$\boldsymbol{{if}}\:\:\:\:\:\mathrm{2}\boldsymbol{{x}}+\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\boldsymbol{{x}}}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\boldsymbol{{find}}\:\boldsymbol{{the}}\:\boldsymbol{{value}}\:\:\:\mathrm{8}\boldsymbol{{x}}+\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\boldsymbol{{x}}}}=? \\ $$
Answered by mr W last updated on 29/Nov/22
$${t}=\sqrt{{x}}>\mathrm{0} \\ $$$${f}\left({t}\right)=\mathrm{2}{t}^{\mathrm{2}} +\frac{\mathrm{1}}{{t}} \\ $$$$\frac{{df}}{{dt}}=\mathrm{4}{t}−\frac{\mathrm{1}}{{t}^{\mathrm{2}} }=\mathrm{0}\:\Rightarrow{t}=\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt[{\mathrm{3}}]{\mathrm{4}}} \\ $$$${f}_{{min}} =\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt[{\mathrm{3}}]{\mathrm{2}}}+\sqrt[{\mathrm{3}}]{\mathrm{4}}\approx\mathrm{2}.\mathrm{381}\:>\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{2}{x}+\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{{x}}}\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:{is}\:{not}\:{possible}\:{for}\:{x}\in{R}. \\ $$