Question Number 117082 by bobhans last updated on 09/Oct/20
$$\mathrm{If}\:\mathrm{6}−\mathrm{3x}\:\mathrm{is}\:\mathrm{the}\:\mathrm{geometric}\:\mathrm{mean}\:\mathrm{between} \\ $$$$\mathrm{the}\:\mathrm{integer}\:\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}\:\mathrm{and}\:\bar {\mathrm{2}}\:\mathrm{what}\:\mathrm{are}\:\mathrm{the}\: \\ $$$$\mathrm{values}\:\mathrm{of}\:\mathrm{x}\:? \\ $$
Answered by bemath last updated on 09/Oct/20
$$\mathrm{geometric}\:\mathrm{mean}\:\Rightarrow\:\sqrt{\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}\right).\mathrm{2}}\:=\:\mathrm{6}−\mathrm{3x} \\ $$$$\mathrm{the}\:\mathrm{equation}\:\mathrm{valid}\:\mathrm{for}\:\mathrm{6}−\mathrm{3x}\:\geqslant\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{or}\:\mathrm{x}\:\leqslant\:\mathrm{2}. \\ $$$$\mathrm{squaring}\:\mathrm{both}\:\mathrm{sides}\:\mathrm{gives}\: \\ $$$$\mathrm{2x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{4}\:=\:\mathrm{9x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{36x}+\mathrm{36} \\ $$$$\mathrm{7x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{36x}+\mathrm{32}\:=\:\mathrm{0} \\ $$$$\left(\mathrm{7x}−\mathrm{8}\right)\left(\mathrm{x}−\mathrm{4}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\begin{cases}{\mathrm{x}=\frac{\mathrm{8}}{\mathrm{7}}\leftarrow\mathrm{accept}}\\{\mathrm{x}=\mathrm{4}\:\leftarrow\mathrm{rejected}}\end{cases} \\ $$$$\mathrm{the}\:\mathrm{value}\:\mathrm{of}\:\mathrm{x}\:\mathrm{is}\:\frac{\mathrm{8}}{\mathrm{7}}. \\ $$
Commented by bemath last updated on 09/Oct/20
$$\mathrm{i}\:\mathrm{think}\:\mathrm{this}\:\mathrm{question}\:\mathrm{not}\:\mathrm{consisten} \\ $$$$\mathrm{because}\:\mathrm{x}=\frac{\mathrm{8}}{\mathrm{7}}\:\mathrm{not}\:\mathrm{a}\:\mathrm{integer} \\ $$