if-a-b-c-3-a-2-b-2-c-2-5-a-3-b-3-c-3-27-find-a-100-b-100-c-100-

Question Number 171749 by Mikenice last updated on 20/Jun/22

$${if}\:{a}+{b}+{c}=\mathrm{3},{a}^{\mathrm{2}} +{b}^{\mathrm{2}} +{c}^{\mathrm{2}} =\mathrm{5},{a}^{\mathrm{3}} +{b}^{\mathrm{3}} +{c}^{\mathrm{3}} =\mathrm{27}.\:{find}\:{a}^{\mathrm{100}} +{b}^{\mathrm{100}} +{c}^{\mathrm{100}} . \\ $$

Answered by floor(10²Eta[1]) last updated on 20/Jun/22

(a+b+c)^2 =a^2 +b^2 +c^2 +2(ab+ac+bc) 9=5+2(ab+ac+bc)⇒ab+ac+bc=2 (a^2 +b^2 +c^2 )(a+b+c)=a^3 +b^3 +c^3 +a^2 b+a^2 c+ab^2 +b^2 c+ac^2 +bc^2 15=27+ab(a+b)+ac(a+c)+bc(b+c) −12=ab(3−c)+ac(3−b)+bc(3−a) −12=3(ab+ac+bc)−3abc −12=6−3abc⇒abc=6 let a, b, c be the roots of x^3 +Ax^2 +Bx+C =(x−a)(x−b)(x−c) =x^3 −x^2 (a+b+c)+x(ab+ac+bc)−abc =x^3 −3x^2 +2x−6=0 x=3 is a root ⇒x^3 −3x^2 +2x−6=(x−3)(x^2 +mx+2) =x^3 +(m−3)x^2 +(2−3m)x−6 ⇒m−3=−3 and 2−3m=2 m=0 x^3 −3x^2 +2x−6=(x−3)(x^2 +2)=0 x=3, x^2 =−2⇒x=±i(√2) a=3, b=i(√2), c=−i(√2) a^(100) +b^(100) +c^(100) =3^(100) +2^(50) +2^(50) =3^(100) +2^(51)

$$\left(\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}\right)^{\mathrm{2}} =\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{b}^{\mathrm{2}} +\mathrm{c}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}\left(\mathrm{ab}+\mathrm{ac}+\mathrm{bc}\right) \\ $$$$\mathrm{9}=\mathrm{5}+\mathrm{2}\left(\mathrm{ab}+\mathrm{ac}+\mathrm{bc}\right)\Rightarrow\mathrm{ab}+\mathrm{ac}+\mathrm{bc}=\mathrm{2} \\ $$$$\left(\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{b}^{\mathrm{2}} +\mathrm{c}^{\mathrm{2}} \right)\left(\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}\right)=\mathrm{a}^{\mathrm{3}} +\mathrm{b}^{\mathrm{3}} +\mathrm{c}^{\mathrm{3}} +\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \mathrm{b}+\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \mathrm{c}+\mathrm{ab}^{\mathrm{2}} +\mathrm{b}^{\mathrm{2}} \mathrm{c}+\mathrm{ac}^{\mathrm{2}} +\mathrm{bc}^{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{15}=\mathrm{27}+\mathrm{ab}\left(\mathrm{a}+\mathrm{b}\right)+\mathrm{ac}\left(\mathrm{a}+\mathrm{c}\right)+\mathrm{bc}\left(\mathrm{b}+\mathrm{c}\right) \\ $$$$−\mathrm{12}=\mathrm{ab}\left(\mathrm{3}−\mathrm{c}\right)+\mathrm{ac}\left(\mathrm{3}−\mathrm{b}\right)+\mathrm{bc}\left(\mathrm{3}−\mathrm{a}\right) \\ $$$$−\mathrm{12}=\mathrm{3}\left(\mathrm{ab}+\mathrm{ac}+\mathrm{bc}\right)−\mathrm{3abc} \\ $$$$−\mathrm{12}=\mathrm{6}−\mathrm{3abc}\Rightarrow\mathrm{abc}=\mathrm{6} \\ $$$$\mathrm{let}\:\mathrm{a},\:\mathrm{b},\:\mathrm{c}\:\mathrm{be}\:\mathrm{the}\:\mathrm{roots}\:\mathrm{of}\:\mathrm{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{Ax}^{\mathrm{2}} +\mathrm{Bx}+\mathrm{C} \\ $$$$=\left(\mathrm{x}−\mathrm{a}\right)\left(\mathrm{x}−\mathrm{b}\right)\left(\mathrm{x}−\mathrm{c}\right) \\ $$$$=\mathrm{x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}\right)+\mathrm{x}\left(\mathrm{ab}+\mathrm{ac}+\mathrm{bc}\right)−\mathrm{abc} \\ $$$$=\mathrm{x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{3x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2x}−\mathrm{6}=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{x}=\mathrm{3}\:\mathrm{is}\:\mathrm{a}\:\mathrm{root} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{3x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2x}−\mathrm{6}=\left(\mathrm{x}−\mathrm{3}\right)\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{mx}+\mathrm{2}\right) \\ $$$$=\mathrm{x}^{\mathrm{3}} +\left(\mathrm{m}−\mathrm{3}\right)\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\left(\mathrm{2}−\mathrm{3m}\right)\mathrm{x}−\mathrm{6} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{m}−\mathrm{3}=−\mathrm{3}\:\mathrm{and}\:\mathrm{2}−\mathrm{3m}=\mathrm{2} \\ $$$$\mathrm{m}=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{3x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2x}−\mathrm{6}=\left(\mathrm{x}−\mathrm{3}\right)\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{x}=\mathrm{3},\:\mathrm{x}^{\mathrm{2}} =−\mathrm{2}\Rightarrow\mathrm{x}=\pm\mathrm{i}\sqrt{\mathrm{2}}\: \\ $$$$\mathrm{a}=\mathrm{3},\:\mathrm{b}=\mathrm{i}\sqrt{\mathrm{2}},\:\mathrm{c}=−\mathrm{i}\sqrt{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{a}^{\mathrm{100}} +\mathrm{b}^{\mathrm{100}} +\mathrm{c}^{\mathrm{100}} =\mathrm{3}^{\mathrm{100}} +\mathrm{2}^{\mathrm{50}} +\mathrm{2}^{\mathrm{50}} =\mathrm{3}^{\mathrm{100}} +\mathrm{2}^{\mathrm{51}} \\ $$$$ \\ $$

Commented by Mikenice last updated on 20/Jun/22

$${thankd}\:{sir} \\ $$

Commented by Tawa11 last updated on 20/Jun/22

$$\mathrm{Great}\:\mathrm{sir} \\ $$

Answered by mr W last updated on 20/Jun/22

let p_n =a^n +b^n +c^n p_1 =e_1 =3 p_2 =e_1 p_1 −2e_2 ⇒5=3^2 −2e_2 ⇒e_2 =2 p_3 =e_1 p_2 −e_2 p_1 +3e_3 ⇒27=3×5−2×3+3e_3 ⇒e_3 =6 p_n =e_1 p_(n−1) −e_2 p_(n−2) +e_3 p_(n−3) p_n =3p_(n−1) −2p_(n−2) +6p_(n−3) r^3 −3r^2 +2r−6=0 (r−3)(r^2 +2)=0 ⇒r=3, ±i(√2)=(√2)e^(±((πi)/2)) p_n =A×3^n +2^(n/2) (B×e^((nπi)/2) +C×e^(−((nπi)/2)) ) we get from p_1 =3, p_2 =5, p_3 =27 A=B=C=1 ⇒p_n =3^n +2^((n/2)+1) cos ((n𝛑)/2) ⇒p_(100) =3^(100) +2^(50+1) ×cos 50π=3^(100) +2^(51) ⇒p_(101) =3^(101) +2^((103)/2) ×cos ((101π)/2)=3^(101) ⇒p_(102) =3^(102) +2^(51+1) ×cos 51π=3^(102) −2^(52)

$${let}\:{p}_{{n}} ={a}^{{n}} +{b}^{{n}} +{c}^{{n}} \\ $$$${p}_{\mathrm{1}} ={e}_{\mathrm{1}} =\mathrm{3} \\ $$$${p}_{\mathrm{2}} ={e}_{\mathrm{1}} {p}_{\mathrm{1}} −\mathrm{2}{e}_{\mathrm{2}} \:\Rightarrow\mathrm{5}=\mathrm{3}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}{e}_{\mathrm{2}} \:\Rightarrow{e}_{\mathrm{2}} =\mathrm{2} \\ $$$${p}_{\mathrm{3}} ={e}_{\mathrm{1}} {p}_{\mathrm{2}} −{e}_{\mathrm{2}} {p}_{\mathrm{1}} +\mathrm{3}{e}_{\mathrm{3}} \:\Rightarrow\mathrm{27}=\mathrm{3}×\mathrm{5}−\mathrm{2}×\mathrm{3}+\mathrm{3}{e}_{\mathrm{3}} \:\Rightarrow{e}_{\mathrm{3}} =\mathrm{6} \\ $$$${p}_{{n}} ={e}_{\mathrm{1}} {p}_{{n}−\mathrm{1}} −{e}_{\mathrm{2}} {p}_{{n}−\mathrm{2}} +{e}_{\mathrm{3}} {p}_{{n}−\mathrm{3}} \\ $$$${p}_{{n}} =\mathrm{3}{p}_{{n}−\mathrm{1}} −\mathrm{2}{p}_{{n}−\mathrm{2}} +\mathrm{6}{p}_{{n}−\mathrm{3}} \\ $$$${r}^{\mathrm{3}} −\mathrm{3}{r}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}{r}−\mathrm{6}=\mathrm{0} \\ $$$$\left({r}−\mathrm{3}\right)\left({r}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow{r}=\mathrm{3},\:\pm{i}\sqrt{\mathrm{2}}=\sqrt{\mathrm{2}}{e}^{\pm\frac{\pi{i}}{\mathrm{2}}} \\ $$$${p}_{{n}} ={A}×\mathrm{3}^{{n}} +\mathrm{2}^{\frac{{n}}{\mathrm{2}}} \left({B}×{e}^{\frac{{n}\pi{i}}{\mathrm{2}}} +{C}×{e}^{−\frac{{n}\pi{i}}{\mathrm{2}}} \right) \\ $$$${we}\:{get}\:{from}\:{p}_{\mathrm{1}} =\mathrm{3},\:{p}_{\mathrm{2}} =\mathrm{5},\:{p}_{\mathrm{3}} =\mathrm{27} \\ $$$${A}={B}={C}=\mathrm{1} \\ $$$$\Rightarrow\boldsymbol{{p}}_{\boldsymbol{{n}}} =\mathrm{3}^{\boldsymbol{{n}}} +\mathrm{2}^{\frac{\boldsymbol{{n}}}{\mathrm{2}}+\mathrm{1}} \:\boldsymbol{\mathrm{cos}}\:\frac{\boldsymbol{{n}\pi}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\Rightarrow{p}_{\mathrm{100}} =\mathrm{3}^{\mathrm{100}} +\mathrm{2}^{\mathrm{50}+\mathrm{1}} ×\mathrm{cos}\:\mathrm{50}\pi=\mathrm{3}^{\mathrm{100}} +\mathrm{2}^{\mathrm{51}} \\ $$$$\Rightarrow{p}_{\mathrm{101}} =\mathrm{3}^{\mathrm{101}} +\mathrm{2}^{\frac{\mathrm{103}}{\mathrm{2}}} ×\mathrm{cos}\:\frac{\mathrm{101}\pi}{\mathrm{2}}=\mathrm{3}^{\mathrm{101}} \\ $$$$\Rightarrow{p}_{\mathrm{102}} =\mathrm{3}^{\mathrm{102}} +\mathrm{2}^{\mathrm{51}+\mathrm{1}} ×\mathrm{cos}\:\mathrm{51}\pi=\mathrm{3}^{\mathrm{102}} −\mathrm{2}^{\mathrm{52}} \\ $$

Commented by Tawa11 last updated on 20/Jun/22