Question Number 185406 by greougoury555 last updated on 21/Jan/23
$${If}\:{a},{b},{c}\:{and}\:{d}\:{are}\:{constants}\:{such}\:{that} \\ $$$$\:\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\:\frac{{ax}^{\mathrm{2}} +\mathrm{sin}\:{bx}+\mathrm{sin}\:{cx}+\mathrm{sin}\:{dx}}{\mathrm{3}{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{5}{x}^{\mathrm{4}} +\mathrm{7}{x}^{\mathrm{6}} }=\mathrm{8} \\ $$$${find}\:{the}\:{value}\:{of}\:{the}\:{sum}\:{a}+{b}+{c}+{d} \\ $$
Answered by witcher3 last updated on 21/Jan/23
$$\sim\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{ax}^{\mathrm{2}} +\left(\mathrm{b}+\mathrm{c}+\mathrm{d}\right)\mathrm{x}}{\mathrm{3x}^{\mathrm{2}} }\Rightarrow\begin{cases}{\mathrm{b}+\mathrm{c}+\mathrm{d}=\mathrm{0}}\\{\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{3}}=\mathrm{8}}\end{cases} \\ $$$$\Leftrightarrow\left(\mathrm{a}=\mathrm{24\&b}+\mathrm{c}+\mathrm{d}=\mathrm{0}\right. \\ $$$$\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}+\mathrm{d}=\mathrm{24} \\ $$