Question Number 60533 by Tawa1 last updated on 21/May/19
$$\mathrm{If}\:\:\mathrm{A},\:\mathrm{B},\:\mathrm{C}\:\:\mathrm{are}\:\mathrm{angle}\:\mathrm{of}\:\mathrm{a}\:\mathrm{triangle}.\:\mathrm{Show}\:\mathrm{that} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\mathrm{cos}\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{C}\:+\:\mathrm{cos}\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\mathrm{A}\:−\:\mathrm{B}\right)\:\:=\:\:\mathrm{2}\:\mathrm{sin}\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{A}\:\mathrm{sin}\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{B} \\ $$
Commented by malwaan last updated on 21/May/19
$$\mathrm{A}+\mathrm{B}+\mathrm{C}=\mathrm{180}^{°} \\ $$$${cos}\left({x}+{y}\right)−{cos}\left({x}−{y}\right)=−\mathrm{2}{sin}\left({x}\right){sin}\left({y}\right) \\ $$$$\therefore\:\mathrm{2}{sin}\left({x}\right){sin}\left({y}\right)={cos}\left({x}−{y}\right)−{cos}\left({x}+{y}\right) \\ $$$${R}.{H}.{S}. \\ $$$$\mathrm{2}{sin}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{Asin}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{B}={cos}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left({A}−{B}\right)−{cos}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left({A}+{B}\right) \\ $$$$={cos}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left({A}−{B}\right)−{cos}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\mathrm{180}−{C}\right) \\ $$$$={cos}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left({A}−{B}\right)−{cos}\left(\mathrm{90}−\frac{{C}}{\mathrm{2}}\right) \\ $$$$={cos}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left({A}−{B}\right)−{sin}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{C} \\ $$$$\neq\mathrm{L}.\mathrm{H}.\mathrm{S}. \\ $$$${whats}\:{wrong}? \\ $$$${the}\:{question}\:{or}\:{me}? \\ $$
Commented by Tawa1 last updated on 21/May/19
$$\mathrm{God}\:\mathrm{bless}\:\mathrm{you}\:\mathrm{sir} \\ $$
Answered by MJS last updated on 21/May/19
$$\mathrm{let}\:{A}=\mathrm{60}°\:{B}=\mathrm{45}°\:{C}=\mathrm{75}° \\ $$$$\mathrm{cos}\:\mathrm{37}.\mathrm{5}°\:+\mathrm{cos}\:\mathrm{7}.\mathrm{5}°\:\approx\mathrm{1}.\mathrm{78} \\ $$$$\mathrm{2sin}\:\mathrm{30}°\:\mathrm{sin}\:\mathrm{22}.\mathrm{5}°\:\approx\mathrm{0}.\mathrm{38} \\ $$$$\mathrm{formula}\:\mathrm{is}\:\mathrm{wrong} \\ $$
Commented by Tawa1 last updated on 21/May/19
$$\mathrm{God}\:\mathrm{bless}\:\mathrm{you}\:\mathrm{sir} \\ $$