Question Number 151391 by mathdanisur last updated on 20/Aug/21
$$\mathrm{if}\:\:\mathrm{a};\mathrm{b}\in\mathbb{R}\:\:\mathrm{and} \\ $$$$\left(\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{b}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)+\mathrm{9}=\mathrm{6}\left(\mathrm{a}+\mathrm{b}\right) \\ $$$$\mathrm{find}\:\:\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{b}^{\mathrm{2}} =? \\ $$
Answered by dumitrel last updated on 20/Aug/21
$$\left({a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)\left({b}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)\overset{{cbs}} {\geqslant}\left({a}+{b}\right)^{\mathrm{2}} \Rightarrow \\ $$$$\mathrm{6}\left({a}+{b}\right)\geqslant\left({a}+{b}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{9}\Rightarrow\left({a}+{b}−\mathrm{3}\right)^{\mathrm{2}} \leqslant\mathrm{0} \\ $$$${a}+{b}=\mathrm{3}\Rightarrow\left({ab}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{9}−\mathrm{2}{ab}+\mathrm{1}=\mathrm{9}\Rightarrow{ab}=\mathrm{1}\Rightarrow \\ $$$${a}^{\mathrm{2}} +{b}^{\mathrm{2}} =\mathrm{7} \\ $$
Commented by mathdanisur last updated on 20/Aug/21
$$\mathrm{Thank}\:\mathrm{You}\:\boldsymbol{\mathrm{S}}\mathrm{er}\:\mathrm{Cool} \\ $$