Question Number 19945 by Tinkutara last updated on 18/Aug/17
$$\mathrm{If}\:\alpha\:\mathrm{and}\:\beta\:\mathrm{are}\:\mathrm{the}\:\mathrm{roots}\:\mathrm{of}\:\mathrm{equation} \\ $$$${x}^{\mathrm{2}} \:+\:{px}\:+\:{q}\:=\:\mathrm{0}\:\mathrm{and}\:\alpha^{\mathrm{2}} ,\:\beta^{\mathrm{2}} \:\mathrm{are}\:\mathrm{roots}\:\mathrm{of} \\ $$$$\mathrm{the}\:\mathrm{equation}\:{x}^{\mathrm{2}} \:−\:{rx}\:+\:{s}\:=\:\mathrm{0},\:\mathrm{show} \\ $$$$\mathrm{that}\:\mathrm{the}\:\mathrm{equation}\:{x}^{\mathrm{2}} \:−\:\mathrm{4}{qx}\:+\:\mathrm{2}{q}^{\mathrm{2}} \:−\:{r}\:=\:\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{has}\:\mathrm{real}\:\mathrm{roots}. \\ $$
Answered by Rasheed.Sindhi last updated on 19/Aug/17
$$\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{px}+\mathrm{q}=\mathrm{0},\:\mathrm{roots}:\alpha,\beta\:\left(\mathrm{given}\right) \\ $$$$\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{rx}+\mathrm{s}=\mathrm{0},\:\mathrm{roots}:\alpha^{\mathrm{2}} ,\beta^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{given}\right) \\ $$$$\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4qx}+\mathrm{2q}^{\mathrm{2}} −\mathrm{r}=\mathrm{0},\mathrm{roots}\:\mathrm{are}\:\mathrm{real}.\left(\mathrm{to}\:\mathrm{be}\:\mathrm{proved}\right) \\ $$$$−−−−−−−−−−− \\ $$$$\alpha+\beta=−\mathrm{p}\:,\alpha\beta=\mathrm{q} \\ $$$$\alpha^{\mathrm{2}} +\beta^{\mathrm{2}} =\mathrm{r},\alpha^{\mathrm{2}} \beta^{\mathrm{2}} =\mathrm{s}=\mathrm{q}^{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4qx}+\mathrm{2q}^{\mathrm{2}} −\mathrm{r}=\mathrm{0} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\Rightarrow\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4}\left(\alpha\beta\right)\mathrm{x}+\mathrm{2}\left(\alpha\beta\right)^{\mathrm{2}} −\left(\alpha^{\mathrm{2}} +\beta^{\mathrm{2}} \right)=\mathrm{0} \\ $$$$\:\:\mathrm{x}=\frac{\mathrm{4}\alpha\beta\pm\sqrt{\mathrm{16}\alpha^{\mathrm{2}} \beta^{\mathrm{2}} −\mathrm{4}\left(\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{2}\left(\alpha\beta\right)^{\mathrm{2}} −\left(\alpha^{\mathrm{2}} +\beta^{\mathrm{2}} \right)\right)}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\:\:\mathrm{x}=\frac{\mathrm{4}\alpha\beta\pm\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{4}\alpha^{\mathrm{2}} \beta^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}\left(\alpha\beta\right)^{\mathrm{2}} +\left(\alpha^{\mathrm{2}} +\beta^{\mathrm{2}} \right)}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\:\:=\mathrm{2}\alpha\beta\pm\sqrt{\mathrm{4}\alpha^{\mathrm{2}} \beta^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}\alpha^{\mathrm{2}} \beta^{\mathrm{2}} +\alpha^{\mathrm{2}} +\beta^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\:\:=\mathrm{2}\alpha\beta\pm\sqrt{\mathrm{2}\alpha^{\mathrm{2}} \beta^{\mathrm{2}} +\alpha^{\mathrm{2}} +\beta^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\alpha^{\mathrm{2}} ,\beta^{\mathrm{2}} \geqslant\mathrm{0}\Rightarrow\mathrm{2}\alpha^{\mathrm{2}} \beta^{\mathrm{2}} +\alpha^{\mathrm{2}} +\beta^{\mathrm{2}} \geqslant\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{Hence}\:\mathrm{the}\:\mathrm{roots}\:\mathrm{are}\:\mathrm{real}. \\ $$
Commented by Tinkutara last updated on 19/Aug/17
$$\mathrm{Thank}\:\mathrm{you}. \\ $$