Question Number 111721 by Aina Samuel Temidayo last updated on 04/Sep/20
$$\mathrm{If}\:\mathrm{b}>\mathrm{1},\mathrm{x}>\mathrm{0}\:\mathrm{and}\:\left(\mathrm{2x}\right)^{\mathrm{log}_{\mathrm{b}} \mathrm{2}} −\left(\mathrm{3x}\right)^{\mathrm{log}_{\mathrm{b}} \mathrm{3}} =\mathrm{0}, \\ $$$$\mathrm{then}\:\mathrm{x}\:\mathrm{is} \\ $$
Answered by Her_Majesty last updated on 05/Sep/20
$$\left(\mathrm{2}{x}\right)^{{log}_{{b}} \:\mathrm{2}} =\left(\mathrm{3}{x}\right)^{{log}_{{b}} \:\mathrm{3}} \\ $$$${log}_{{b}} \:\mathrm{2}\:×{ln}\left(\mathrm{2}{x}\right)={log}_{{b}} \:\mathrm{3}\:×{ln}\left(\mathrm{3}{x}\right) \\ $$$$\frac{{ln}\:\mathrm{2}}{{ln}\:{b}}{ln}\:\left(\mathrm{2}{x}\right)=\frac{{ln}\:\mathrm{3}}{{ln}\:{b}}{ln}\:\left(\mathrm{3}{x}\right) \\ $$$${ln}\:\mathrm{2}\:\left({ln}\:\mathrm{2}\:+{ln}\:{x}\right)={ln}\:\mathrm{3}\:\left({ln}\:\mathrm{3}\:+{ln}\:{x}\right) \\ $$$$\left({ln}\:\mathrm{2}\right)^{\mathrm{2}} +{ln}\:\mathrm{2}\:{ln}\:{x}\:=\left({ln}\:\mathrm{3}\right)^{\mathrm{2}} +{ln}\:\mathrm{3}\:{ln}\:{x} \\ $$$$\left({ln}\:\mathrm{3}\:−{ln}\:\mathrm{2}\right){ln}\:{x}\:=\left({ln}\:\mathrm{2}\right)^{\mathrm{2}} −\left({ln}\:\mathrm{3}\right)^{\mathrm{2}} \\ $$$${ln}\:{x}\:=\frac{\left({ln}\:\mathrm{3}\:−{ln}\:\mathrm{3}\right)\left({ln}\:\mathrm{2}\:+{ln}\:\mathrm{3}\right)}{{ln}\:\mathrm{3}\:−{ln}\:\mathrm{2}} \\ $$$${ln}\:{x}\:=−\left({ln}\:\mathrm{2}\:+{ln}\:\mathrm{3}\right) \\ $$$${ln}\:{x}\:=−{ln}\:\mathrm{6} \\ $$$${ln}\:{x}\:={ln}\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}} \\ $$$${x}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}} \\ $$
Commented by Aina Samuel Temidayo last updated on 05/Sep/20
$$\mathrm{Thanks}. \\ $$