Question Number 20639 by oyshi last updated on 30/Aug/17
$${if}\:\mathrm{cos}\:\left({A}+{B}\right)\mathrm{sin}\:\left({C}+{D}\right)=\mathrm{cos}\:\left({A}−{B}\right) \\ $$$$\mathrm{sin}\:\left({C}−{D}\right) \\ $$$${so}\:{proof}\:\mathrm{cot}\:{A}\mathrm{cot}\:{B}\mathrm{cot}\:{C}=\mathrm{cot}\:{D} \\ $$
Answered by Tinkutara last updated on 30/Aug/17
$$\frac{\mathrm{sin}\:\left({C}+{D}\right)}{\mathrm{sin}\:\left({C}−{D}\right)}=\frac{\mathrm{cos}\:\left({A}−{B}\right)}{\mathrm{cos}\:\left({A}+{B}\right)} \\ $$$$\frac{\mathrm{2sin}\:{C}\mathrm{cos}\:{D}}{\mathrm{2cos}\:{C}\mathrm{sin}\:{D}}=\frac{\mathrm{2cos}\:{A}\mathrm{cos}\:{B}}{\mathrm{2sin}\:{A}\mathrm{sin}\:{B}} \\ $$$$\mathrm{tan}\:{C}\mathrm{cot}\:{D}=\mathrm{cot}\:{A}\mathrm{cot}\:{B} \\ $$$$\mathrm{cot}\:{A}\mathrm{cot}\:{B}\mathrm{cot}\:{C}=\mathrm{cot}\:{D} \\ $$
Answered by ajfour last updated on 30/Aug/17
$$\frac{\mathrm{cos}\:\left({A}+{B}\right)}{\mathrm{cos}\:\left({A}−{B}\right)}=\frac{\mathrm{sin}\:\left({C}−{D}\right)}{\mathrm{sin}\:\left({C}+{D}\right)} \\ $$$$\Rightarrow\:\frac{\mathrm{1}−\mathrm{tan}\:{A}\mathrm{tan}\:{B}}{\mathrm{1}+\mathrm{tan}\:{A}\mathrm{tan}\:{B}}=\frac{\mathrm{tan}\:{C}−\mathrm{tan}\:{D}}{\mathrm{tan}\:{C}+\mathrm{tan}\:{D}} \\ $$$$\Rightarrow\:\frac{−\mathrm{2tan}\:{A}\mathrm{tan}\:{B}}{\mathrm{2}}=\frac{−\mathrm{2tan}\:{D}}{\mathrm{2tan}\:{C}} \\ $$$$\Rightarrow\:\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{tan}\:{D}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{tan}\:{A}\mathrm{tan}\:{B}\mathrm{tan}\:{C}}\:. \\ $$