Question Number 13283 by Tinkutara last updated on 17/May/17
$$\mathrm{If}\:{f}\::\:{A}\:\rightarrow\:{B}\:\mathrm{given}\:\mathrm{by}\:\mathrm{3}^{{f}\left({x}\right)} \:+\:\mathrm{2}^{−{x}} \:=\:\mathrm{4}\:\mathrm{is} \\ $$$$\mathrm{a}\:\mathrm{bijection},\:\mathrm{then}\:\mathrm{find}\:{A}\:\mathrm{and}\:{B}\:\mathrm{if}\:\mathrm{possible}. \\ $$
Answered by 433 last updated on 17/May/17
$${f}\left({A}\right)={B} \\ $$$$\mathrm{3}^{{f}\left({x}\right)} =\mathrm{4}−\mathrm{2}^{−{x}} \\ $$$${f}\left({x}\right)=\frac{\mathrm{ln}\:\left(\mathrm{4}−\mathrm{2}^{−{x}} \right)}{\mathrm{ln}\:\mathrm{3}} \\ $$$${A}=\left\{\mathrm{4}−\mathrm{2}^{−{x}} >\mathrm{0}\right\}=\left\{\mathrm{4}>\mathrm{2}^{−{x}} \right\}= \\ $$$$\left\{\mathrm{2}^{\mathrm{2}} >\mathrm{2}^{−{x}} \right\}=\left\{\mathrm{2}>−{x}\right\}=\left\{{x}>−\mathrm{2}\right\}=\left(−\mathrm{2},+\infty\right) \\ $$$${x}>−\mathrm{2}\Leftrightarrow−{x}<\mathrm{2}\Leftrightarrow\mathrm{0}<\mathrm{2}^{−{x}} <\mathrm{4} \\ $$$$\Leftrightarrow−\mathrm{4}<−\mathrm{2}^{−{x}} <\mathrm{0}\Leftrightarrow\mathrm{0}<\mathrm{4}−\mathrm{2}^{−{x}} <\mathrm{4} \\ $$$$\Leftrightarrow−\infty<\mathrm{ln}\:\left(\mathrm{4}−\mathrm{2}^{−{x}} \right)<\mathrm{ln}\:\mathrm{4} \\ $$$$\overset{\mathrm{ln}\:\mathrm{3}>\mathrm{0}} {\Leftrightarrow}−\infty<\frac{\mathrm{ln}\:\left(\mathrm{4}−\mathrm{2}^{−{x}} \right)}{\mathrm{ln}\:\mathrm{3}}<\frac{\mathrm{ln}\:\mathrm{4}}{\mathrm{ln}\:\mathrm{3}} \\ $$$${B}=\left(−\infty,\frac{\mathrm{ln}\:\mathrm{4}}{\mathrm{ln}\:\mathrm{3}}\right) \\ $$$$ \\ $$