Question Number 111535 by Aina Samuel Temidayo last updated on 04/Sep/20
$$\mathrm{If}\:\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{ax}^{\mathrm{2}} −\mathrm{c}\:\mathrm{satisfy}\:−\mathrm{4}\leqslant\mathrm{f}\left(\mathrm{1}\right)\leqslant−\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{and}\:−\mathrm{1}\leqslant\mathrm{f}\left(\mathrm{2}\right)\leqslant\mathrm{5},\:\mathrm{then} \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{A}.\:\mathrm{7}\leqslant\mathrm{f}\left(\mathrm{3}\right)\leqslant\mathrm{26}\:\mathrm{B}.\:−\mathrm{1}\leqslant\mathrm{f}\left(\mathrm{3}\right)\leqslant\mathrm{20}\:\mathrm{C}. \\ $$$$−\mathrm{4}\leqslant\mathrm{f}\left(\mathrm{3}\right)\leqslant\mathrm{15}\:\mathrm{D}.\:\frac{−\mathrm{28}}{\mathrm{3}}\leqslant\mathrm{f}\left(\mathrm{3}\right)\leqslant\frac{\mathrm{35}}{\mathrm{3}}\:\mathrm{E}. \\ $$$$\frac{\mathrm{8}}{\mathrm{3}}\leqslant\mathrm{f}\left(\mathrm{3}\right)\leqslant\frac{\mathrm{13}}{\mathrm{3}} \\ $$
Answered by 1549442205PVT last updated on 04/Sep/20
$$−\mathrm{4}\leqslant\mathrm{f}\left(\mathrm{1}\right)\leqslant−\mathrm{1}\Leftrightarrow−\mathrm{4}\leqslant\mathrm{a}−\mathrm{c}\leqslant−\mathrm{1}\left(\mathrm{1}\right) \\ $$$$−\mathrm{1}\leqslant\mathrm{f}\left(\mathrm{2}\right)\leqslant\mathrm{5}\Leftrightarrow−\mathrm{1}\leqslant\mathrm{4a}−\mathrm{c}\leqslant\mathrm{5}.\mathrm{We}\:\mathrm{have} \\ $$$$\begin{cases}{−\mathrm{1}\leqslant\mathrm{4a}−\mathrm{c}\leqslant−\mathrm{1}}\\{−\mathrm{1}\geqslant\mathrm{a}−\mathrm{c}\geqslant−\mathrm{4}}\end{cases} \\ $$$$\mathrm{Substracting}\:\mathrm{two}\:\mathrm{inequaliries}\:\mathrm{we}\:\mathrm{get} \\ $$$$\mathrm{0}\leqslant\mathrm{3a}\leqslant\mathrm{3}\Leftrightarrow\mathrm{0}\leqslant\mathrm{a}\leqslant\mathrm{1}\left(\mathrm{2}\right). \\ $$$$\left(\mathrm{1}\right)\Leftrightarrow\mathrm{1}\leqslant\mathrm{c}−\mathrm{a}\leqslant\mathrm{4}\:\left(\mathrm{3}\right).\mathrm{Adding}\:\mathrm{up}\:\left(\mathrm{2}\right)\:\left(\mathrm{3}\right) \\ $$$$\mathrm{we}\:\mathrm{get}\:\mathrm{1}\leqslant\mathrm{c}\leqslant\mathrm{5}\left(\mathrm{5}\right) \\ $$$$\mathrm{f}\left(\mathrm{3}\right)=\mathrm{9a}−\mathrm{c}\leqslant\mathrm{9}−\mathrm{1}=\mathrm{8} \\ $$$$\mathrm{f}\left(\mathrm{3}\right)=\mathrm{9a}−\mathrm{c}\geqslant\mathrm{0}−\mathrm{5}=−\mathrm{4} \\ $$$$\mathrm{Hence}\:−\mathrm{4}\leqslant\mathrm{f}\left(\mathrm{3}\right)\leqslant\mathrm{8}\Rightarrow\boldsymbol{\mathrm{Choose}}\:\boldsymbol{\mathrm{C}} \\ $$
Commented by Aina Samuel Temidayo last updated on 04/Sep/20
$$\mathrm{Thanks}. \\ $$