Question Number 19811 by Joel577 last updated on 16/Aug/17
$$\mathrm{If}\:{f}\left({x}\right)\:=\:\left({x}\:+\mathrm{1}\right){g}\left({x}\right)\:−\:\mathrm{2}\:\mathrm{and}\:{g}\left(\mathrm{3}\right)\:=\:\mathrm{4} \\ $$$$\mathrm{Find}\:\mathrm{the}\:\mathrm{remainder}\:\mathrm{if}\:{f}\left({x}\right)\:\mathrm{divided}\:\mathrm{by}\: \\ $$$$\left({x}\:+\:\mathrm{1}\right)\left({x}\:−\:\mathrm{3}\right) \\ $$
Commented by myintkhaing last updated on 16/Aug/17
$$\mathrm{Since},\:\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\:=\:\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)\:−\mathrm{2}\:\mathrm{and}\:\mathrm{g}\left(\mathrm{3}\right)\:=\:\mathrm{4} \\ $$$$\mathrm{when}\:\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\:\mathrm{is}\:\mathrm{divided}\:\mathrm{by}\:\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right), \\ $$$$\mathrm{the}\:\mathrm{remainder},\:\mathrm{f}\left(−\mathrm{1}\right)\:=\:−\mathrm{2}\:\mathrm{and} \\ $$$$\mathrm{f}\left(\mathrm{3}\right)\:=\:\mathrm{4g}\left(\mathrm{3}\right)\:−\mathrm{2}\:=\:\mathrm{14} \\ $$$$\mathrm{Let}\:\mathrm{the}\:\mathrm{quotient}\:\mathrm{be}\:\mathrm{Q}\left(\mathrm{x}\right)\:\mathrm{and}\:\mathrm{the}\:\mathrm{remainder} \\ $$$$\mathrm{be}\:\mathrm{ax}+\mathrm{b} \\ $$$$\mathrm{when}\:\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\:\mathrm{is}\:\mathrm{divided}\:\mathrm{by}\:\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{x}−\mathrm{3}\right) \\ $$$$\mathrm{So},\:\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\:=\:\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{x}−\mathrm{3}\right)\mathrm{Q}\left(\mathrm{x}\right)+\mathrm{ax}+\mathrm{b} \\ $$$$\mathrm{thus}\:\mathrm{f}\left(−\mathrm{1}\right)\:=\:−\mathrm{a}+\mathrm{b}\:=\:−\mathrm{2}\:………\left(\mathrm{1}\right) \\ $$$$\mathrm{f}\left(\mathrm{3}\right)\:=\:\mathrm{3a}+\mathrm{b}\:=\:\mathrm{14}\:………\left(\mathrm{2}\right) \\ $$$$\mathrm{Solving}\:\mathrm{equations}\:\left(\mathrm{1}\right)\:\mathrm{and}\:\left(\mathrm{2}\right) \\ $$$$\mathrm{a}\:=\:\mathrm{4}\:\mathrm{and}\:\mathrm{b}\:=\:\mathrm{2} \\ $$$$\therefore\:\mathrm{The}\:\mathrm{required}\:\mathrm{remainder}\:=\:\mathrm{4x}+\mathrm{2}\:# \\ $$
Commented by Joel577 last updated on 16/Aug/17
$${thank}\:{you}\:{very}\:{much} \\ $$