Question Number 128425 by bramlexs22 last updated on 07/Jan/21
$$\:\mathrm{If}\:\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\:=\:\mathrm{x}\:+\:\mathrm{tan}\:\mathrm{x}\:\mathrm{and}\:\mathrm{f}\:\mathrm{is}\:\mathrm{inverse} \\ $$$$\mathrm{of}\:\mathrm{g}\:,\:\mathrm{then}\:\mathrm{g}'\left(\mathrm{x}\right)\:\mathrm{is}\:\mathrm{equal}\:\mathrm{to} \\ $$$$\left(\mathrm{a}\right)\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+\left(\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)−\mathrm{x}\right)^{\mathrm{2}} }\:\:\:\left(\mathrm{b}\right)\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−\left(\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)−\mathrm{x}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\left(\mathrm{c}\right)\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}+\left(\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)−\mathrm{x}\right)^{\mathrm{2}} }\:\:\:\left(\mathrm{d}\right)\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}−\left(\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)−\mathrm{x}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$
Answered by liberty last updated on 07/Jan/21
$$\Rightarrow\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{g}^{−\mathrm{1}} \left(\mathrm{x}\right);\:\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{f}^{−\mathrm{1}} \left(\mathrm{x}\right) \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{g}'\left(\mathrm{x}\right)\:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{f}\:'\left(\mathrm{f}^{−\mathrm{1}} \left(\mathrm{x}\right)\right)}\:;\:\mathrm{f}\:'\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{1}+\mathrm{sec}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{x}=\mathrm{2}+\mathrm{tan}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{x} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{g}\:'\left(\mathrm{x}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}+\left(\mathrm{x}+\mathrm{tan}\:\mathrm{x}−\mathrm{x}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{g}'\left(\mathrm{x}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}+\left(\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)−\mathrm{x}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$