Question Number 108705 by mathmax by abdo last updated on 18/Aug/20
$$\mathrm{if}\:\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} \:\mathrm{u}_{\mathrm{k}} =\mathrm{n}\left(\mathrm{2}^{\mathrm{n}} +\mathrm{3}\right)\:\:\mathrm{determine}\:\mathrm{lim}_{\mathrm{n}\rightarrow+\infty} \sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} \:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{u}_{\mathrm{k}} } \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 21/Aug/20
$$\mathrm{we}\:\mathrm{have}\:\mathrm{u}_{\mathrm{1}} \:+\mathrm{u}_{\mathrm{2}} +….+\mathrm{u}_{\mathrm{n}} =\mathrm{n}\left(\mathrm{2}^{\mathrm{n}} +\mathrm{3}\right) \\ $$$$\mathrm{u}_{\mathrm{1}} \:+\mathrm{u}_{\mathrm{2}} \:+….+\mathrm{u}_{\mathrm{n}} +\mathrm{u}_{\mathrm{n}+\mathrm{1}} =\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{2}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \:+\mathrm{3}\right)\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{u}_{\mathrm{n}+\mathrm{1}} =\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\mathrm{2}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} +\mathrm{3n}+\mathrm{3}−\mathrm{n2}^{\mathrm{n}} −\mathrm{3n} \\ $$$$=\mathrm{2n}\:\mathrm{2}^{\mathrm{n}} \:+\mathrm{2}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} −\mathrm{n2}^{\mathrm{n}} \:+\mathrm{3}\:=\mathrm{n}\:\mathrm{2}^{\mathrm{n}} \:+\mathrm{2}.\mathrm{2}^{\mathrm{n}} \:+\mathrm{3}\:=\left(\mathrm{n}+\mathrm{2}\right)\mathrm{2}^{\mathrm{n}} \:+\mathrm{3}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{u}_{\mathrm{n}} =\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\mathrm{2}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \:+\mathrm{3}\:\Rightarrow\mathrm{v}_{\mathrm{n}} =\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} \:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{u}_{\mathrm{k}} }\:=\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} \:\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{k}+\mathrm{1}\right)\mathrm{2}^{\mathrm{k}−\mathrm{1}} \:+\mathrm{3}} \\ $$$$\mathrm{1}\leqslant\mathrm{k}\leqslant\mathrm{n}\:\Rightarrow\mathrm{2}\leqslant\mathrm{k}+\mathrm{1}\leqslant\mathrm{n}+\mathrm{1}\:\mathrm{and}\:\mathrm{1}\leqslant\mathrm{2}^{\mathrm{k}−\mathrm{1}} \leqslant\mathrm{2}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \:\Rightarrow\mathrm{2}\leqslant\left(\mathrm{k}+\mathrm{1}\right)\mathrm{2}^{\mathrm{k}−\mathrm{1}} \leqslant\mathrm{n}+\mathrm{1}\:+\mathrm{2}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \:\Rightarrow \\ $$$$\left.\mathrm{5}\left.\leqslant\right)\mathrm{k}+\mathrm{1}\right)\mathrm{2}^{\mathrm{k}−\mathrm{1}} \:+\mathrm{3}\leqslant\mathrm{n}+\mathrm{4}\:+\mathrm{2}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \:\Rightarrow\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}+\mathrm{4}+\mathrm{2}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} }\leqslant\frac{\mathrm{1}}{\left(…\right)}\leqslant\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{5}} \\ $$$$\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}+\mathrm{4}\:+\mathrm{2}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} }\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \left\{\frac{\mathrm{n}+\mathrm{4}}{\mathrm{2}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} }\:+\mathrm{1}\right\}}\sim\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} }\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{n}+\mathrm{4}}{\mathrm{2}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} }\right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} }−\frac{\mathrm{n}+\mathrm{4}}{\mathrm{4}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} } \\ $$$$\Rightarrow\Sigma\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}+\mathrm{4}+\mathrm{2}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} }\:\mathrm{converges}\:\:\Rightarrow\Sigma\:\mathrm{v}_{\mathrm{n}} \:\mathrm{cv}\:\:\:\mathrm{rest}\:\mathrm{to}\:\mathrm{find}\:\mathrm{limit}…. \\ $$$$\mathrm{be}\:\mathrm{continued}…. \\ $$