Question Number 117791 by ZiYangLee last updated on 13/Oct/20
$$\mathrm{If}\:{k}\:\mathrm{is}\:\mathrm{an}\:\mathrm{integer}\:\mathrm{which}\:\mathrm{satisfies}\: \\ $$$$\mathrm{2sin}^{\mathrm{2}} \theta+\mathrm{10cos}^{\mathrm{2}} \frac{\theta}{\mathrm{2}}=\mathrm{7}−\mathrm{2}{k},\:\mathrm{then}\:{k}\in? \\ $$$${A}.\left\{\mathrm{0},\mathrm{1},\mathrm{2},\mathrm{3}\right\}\:\:\:{B}.\left\{−\mathrm{1},\mathrm{0},\mathrm{1},\mathrm{2},\mathrm{3}\right\} \\ $$$${C}.\left\{\left(−\mathrm{2},−\mathrm{1},\mathrm{0},\mathrm{1},\mathrm{2},\mathrm{3}\right\}\:\:{D}.\left\{−\mathrm{3},−\mathrm{2},−\mathrm{1},\mathrm{0}\right\}\right. \\ $$
Answered by floor(10²Eta[1]) last updated on 13/Oct/20
$$\mathrm{2}\left(\mathrm{1}−\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \theta\right)+\mathrm{10}\left(\frac{\mathrm{1}+\mathrm{cos}\theta}{\mathrm{2}}\right)=\mathrm{7}−\mathrm{2k} \\ $$$$\mathrm{2}−\mathrm{2cos}^{\mathrm{2}} \theta+\mathrm{5}+\mathrm{5cos}\theta=\mathrm{7}−\mathrm{2k} \\ $$$$\mathrm{2cos}^{\mathrm{2}} \theta−\mathrm{5cos}\theta−\mathrm{2k}=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{cos}\theta=\frac{\mathrm{5}\pm\sqrt{\mathrm{25}+\mathrm{16k}}}{\mathrm{4}} \\ $$$$−\mathrm{1}\leqslant\frac{\mathrm{5}\pm\sqrt{\mathrm{25}+\mathrm{16k}}}{\mathrm{4}}\leqslant\mathrm{1} \\ $$$$−\mathrm{9}\leqslant\pm\sqrt{\mathrm{25}+\mathrm{16k}}\leqslant−\mathrm{1} \\ $$$$\Rightarrow−\mathrm{9}\leqslant−\sqrt{\mathrm{25}+\mathrm{16k}}\leqslant−\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{9}\geqslant\sqrt{\mathrm{25}+\mathrm{16k}}\geqslant\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{81}\geqslant\mathrm{25}+\mathrm{16k}\geqslant\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{3}.\mathrm{5}\geqslant\mathrm{k}\geqslant−\mathrm{1}.\mathrm{5} \\ $$$$\mathrm{Ans}:\:\mathrm{B} \\ $$
Answered by TANMAY PANACEA last updated on 13/Oct/20
$${cos}^{\mathrm{2}} \frac{\theta}{\mathrm{2}}={a} \\ $$$$\mathrm{2}\left(\mathrm{2}{sin}\frac{\theta}{\mathrm{2}}{cos}\frac{\theta}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{10}{cos}^{\mathrm{2}} \frac{\theta}{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{8}\left(\mathrm{1}−{cos}^{\mathrm{2}} \frac{\theta}{\mathrm{2}}\right){cos}^{\mathrm{2}} \frac{\theta}{\mathrm{2}}+\mathrm{10}{cos}^{\mathrm{2}} \frac{\theta}{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{8}\left(\mathrm{1}−{a}\right){a}+\mathrm{10}{a} \\ $$$$\mathrm{8}{a}−\mathrm{8}{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{10}{a} \\ $$$$\mathrm{18}{a}−\mathrm{8}{a}^{\mathrm{2}} \\ $$$$−\mathrm{8}{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{18}{a} \\ $$$$−\mathrm{8}\left({a}^{\mathrm{2}} −\frac{\mathrm{9}{a}}{\mathrm{4}}\right) \\ $$$$−\mathrm{8}\left({a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}×{a}×\frac{\mathrm{9}}{\mathrm{8}}+\frac{\mathrm{81}}{\mathrm{64}}−\frac{\mathrm{81}}{\mathrm{64}}\right) \\ $$$$\mathrm{8}×\frac{\mathrm{81}}{\mathrm{64}}−\mathrm{8}\left({a}−\frac{\mathrm{9}}{\mathrm{8}}\right)^{\mathrm{2}} \\ $$$$\frac{\mathrm{81}}{\mathrm{8}}−\mathrm{8}\left({a}−\frac{\mathrm{9}}{\mathrm{8}}\right)^{\mathrm{2}} \\ $$$$\:\:\mathrm{1}\geqslant{cos}\frac{\theta}{\mathrm{2}}\geqslant−\mathrm{1}\:{but}\:\mathrm{1}\geqslant{cos}^{\mathrm{2}} \frac{\theta}{\mathrm{2}}\geqslant\mathrm{0} \\ $$$$\:\mathrm{1}\geqslant{a}\geqslant\mathrm{0} \\ $$$$\frac{\mathrm{81}}{\mathrm{8}}−\mathrm{8}\left(\mathrm{0}−\frac{\mathrm{9}}{\mathrm{8}}\right)^{\mathrm{2}} =\mathrm{0} \\ $$$$\frac{\mathrm{81}}{\mathrm{8}}−\mathrm{8}\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{9}}{\mathrm{8}}\right)^{\mathrm{2}} =\frac{\mathrm{81}}{\mathrm{8}}−\mathrm{8}×\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{64}}=\frac{\mathrm{81}−\mathrm{1}}{\mathrm{8}}=\mathrm{10} \\ $$$${now}\:\:\mathrm{10}\geqslant\mathrm{7}−\mathrm{2}{k}\geqslant\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{3}\geqslant−\mathrm{2}{k}\geqslant−\mathrm{7} \\ $$$$−\mathrm{3}\leqslant\mathrm{2}{k}\leqslant\mathrm{7} \\ $$$$\frac{−\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\leqslant{k}\leqslant\frac{\mathrm{7}}{\mathrm{2}} \\ $$$$−\mathrm{1}.\mathrm{5}\leqslant{k}\leqslant\mathrm{3}.\mathrm{5} \\ $$$$ \\ $$
Answered by 1549442205PVT last updated on 14/Oct/20
$$\mathrm{2sin}^{\mathrm{2}} \theta+\mathrm{10cos}^{\mathrm{2}} \frac{\theta}{\mathrm{2}}=\mathrm{7}−\mathrm{2}{k}\:\left(\mathrm{1}\right) \\ $$$$\Leftrightarrow\mathrm{2}\left(\mathrm{sin}\frac{\theta}{\mathrm{2}}\mathrm{cos}\frac{\theta}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{10cos}^{\mathrm{2}} \frac{\theta}{\mathrm{2}}=\mathrm{7}−\mathrm{2k} \\ $$$$\Leftrightarrow\mathrm{2sin}^{\mathrm{2}} \frac{\theta}{\mathrm{2}}\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \frac{\theta}{\mathrm{2}}+\mathrm{10cos}^{\mathrm{2}} \frac{\theta}{\mathrm{2}}=\mathrm{7}−\mathrm{k} \\ $$$$\bullet\mathrm{If}\:\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}=\mathrm{0}\:\mathrm{then}\:\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}=\mathrm{1}\Rightarrow\left(\mathrm{1}\right)\Leftrightarrow\mathrm{k}=\mathrm{2}.\mathrm{5}\notin\mathrm{Z} \\ $$$$\bullet\mathrm{If}\:\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}\neq\mathrm{0}\:\mathrm{then}\:\mathrm{divide}\:\mathrm{both}\:\mathrm{sides}\:\mathrm{of} \\ $$$$\mathrm{equation}\left(\mathrm{1}\right)\mathrm{by}\:\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}\:\mathrm{we}\:\mathrm{get} \\ $$$$\left(\mathrm{1}\right)\Leftrightarrow\mathrm{2tan}^{\mathrm{2}} \frac{\theta}{\mathrm{2}}+\mathrm{10}=\left(\mathrm{7}−\mathrm{2k}\right)\left(\mathrm{1}+\mathrm{tan}^{\mathrm{2}} \frac{\theta}{\mathrm{2}}\right) \\ $$$$\Leftrightarrow\left(\mathrm{5}−\mathrm{2k}\right)\mathrm{tan}^{\mathrm{2}} \frac{\theta}{\mathrm{2}}=\mathrm{3}+\mathrm{2k}\Rightarrow\mathrm{k}\neq\mathrm{2}.\mathrm{5} \\ $$$$\Leftrightarrow\mathrm{tan}^{\mathrm{2}} \frac{\theta}{\mathrm{2}}=\frac{\mathrm{3}+\mathrm{2k}}{\mathrm{5}−\mathrm{2k}}\geqslant\mathrm{0}\Leftrightarrow−\mathrm{1}.\mathrm{5}\leqslant\mathrm{k}<\mathrm{2}.\mathrm{5} \\ $$$$\mathrm{k}\in\mathrm{Z}\Rightarrow\mathrm{k}\in\left\{−\mathrm{1},\mathrm{0},\mathrm{1},\mathrm{2}\right\}\Rightarrow\mathrm{Choose}\:\mathrm{B} \\ $$