Question Number 112497 by bemath last updated on 08/Sep/20
$$\mathrm{If}\:\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\:\frac{\mathrm{sin}\:\mathrm{2x}\:+\:\mathrm{asin}\:\mathrm{x}}{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} }\:\mathrm{exist}\: \\ $$$$\mathrm{what}\:\mathrm{is}\:\mathrm{the}\:\mathrm{value}\:\mathrm{of}\:\mathrm{a}\:\mathrm{and}\:\mathrm{the}\:\mathrm{limit}? \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 08/Sep/20
$$\mathrm{let}\:\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\:=\frac{\mathrm{sin}\left(\mathrm{2x}\right)+\mathrm{asinx}}{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} }\:\:\mathrm{we}\:\mathrm{have}\:\mathrm{sinx}\:\sim\mathrm{x}−\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{6}} \\ $$$$\mathrm{sin}\left(\mathrm{2x}\right)\sim\mathrm{2x}−\frac{\left(\mathrm{2x}\right)^{\mathrm{3}} }{\mathrm{6}}\:=\mathrm{2x}−\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{3}}\mathrm{x}^{\mathrm{3}} \:\Rightarrow\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\:\sim\:\frac{\mathrm{2x}−\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{3}}\mathrm{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{ax}−\frac{\mathrm{ax}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{6}}}{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} } \\ $$$$=\frac{\mathrm{2}+\mathrm{a}\:\:−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \left(\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{3}}\:+\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{6}}\right)}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\:\:\mathrm{so}\:\mathrm{lim}_{\mathrm{x}\rightarrow\mathrm{0}} \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\:\mathrm{exist}\:\Leftrightarrow\mathrm{2}+\mathrm{a}\:=\mathrm{0}\:\Leftrightarrow\mathrm{a}=−\mathrm{2} \\ $$$$\mathrm{and}\:\mathrm{the}\:\mathrm{limit}\:\mathrm{is}\:\mathrm{L}\:=−\left(\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{3}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\right)\:=−\mathrm{1} \\ $$
Answered by bemath last updated on 08/Sep/20
