Question Number 16834 by sushmitak last updated on 26/Jun/17
$$\mathrm{If}\:\alpha<\beta<\gamma<\mathrm{2}\pi\:\mathrm{and} \\ $$$$\mathrm{cos}\:\left({x}+\alpha\right)+\mathrm{cos}\:\left({x}+\beta\right)+\mathrm{cos}\:\left({x}+\gamma\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{for}\:\mathrm{all}\:{x}\in\mathbb{R},\:\mathrm{then}\:\mathrm{is} \\ $$$$\gamma−\alpha=\frac{\mathrm{2}\pi}{\mathrm{3}}? \\ $$
Commented by ajfour last updated on 27/Jun/17
$$\mathrm{no},\:\mathrm{i}\:\mathrm{believe}\:\:\:\gamma−\alpha=\frac{\mathrm{4}\pi}{\mathrm{3}}\:,\:\mathrm{then}. \\ $$
Commented by ajfour last updated on 27/Jun/17
Commented by prakash jain last updated on 27/Jun/17
$$\mathrm{upon}\:\mathrm{expansion} \\ $$$$\forall{x} \\ $$$$\mathrm{cos}\:\left({x}\right)\left(\mathrm{cos}\:\alpha+\mathrm{cos}\:\beta+\mathrm{cos}\:\gamma\right) \\ $$$$−\mathrm{sin}\:{x}\left(\mathrm{sin}\:\alpha+\mathrm{sin}\:\beta+\mathrm{sin}\:\gamma\right)=\mathrm{0} \\ $$$${since}\:{above}\:{statement}\:{is}\:{true} \\ $$$${for}\:{all}\:{x} \\ $$$$\mathrm{cos}\:\alpha+\mathrm{cos}\:\beta+\mathrm{cos}\:\gamma=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{sin}\:\alpha+\mathrm{sin}\:\beta+\mathrm{sin}\:\gamma=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{cos}\:\beta=−\left(\mathrm{cos}\:\alpha+\mathrm{cos}\:\gamma\right)\:\:\:……{A} \\ $$$$\mathrm{sin}\:\beta=−\left(\mathrm{sin}\:\alpha+\mathrm{sin}\:\gamma\right)\:\:\:\:\:……{B} \\ $$$${square}\:{and}\:{add} \\ $$$$\mathrm{1}=\mathrm{2}+\mathrm{2}\left(\mathrm{cos}\:\alpha\mathrm{cos}\:\gamma+\mathrm{sin}\:\alpha\mathrm{sin}\:\gamma\right) \\ $$$$\mathrm{cos}\:\left(\gamma−\alpha\right)=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\gamma−\alpha=\mathrm{2}{n}\pi\pm\frac{\mathrm{2}\pi}{\mathrm{3}} \\ $$$$\mathrm{since}\:\gamma<\mathrm{2}\pi \\ $$$$\gamma−\alpha=\frac{\mathrm{2}\pi}{\mathrm{3}}\:\mathrm{or}\:\frac{\mathrm{4}\pi}{\mathrm{3}} \\ $$