Question Number 188224 by Shrinava last updated on 26/Feb/23
$$\mathrm{If}\:\:\:\Omega\:=\:\underset{\boldsymbol{\mathrm{n}}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\:\left(\underset{\boldsymbol{\mathrm{k}}=\mathrm{2}} {\overset{\infty} {\prod}}\:\frac{\mathrm{k}^{\mathrm{3}} \:−\:\mathrm{1}}{\mathrm{k}^{\mathrm{3}} \:+\:\mathrm{1}}\right)^{\boldsymbol{\mathrm{n}}} \\ $$$$\mathrm{Solve}\:\mathrm{for}\:\mathrm{complex}\:\mathrm{numbees}: \\ $$$$\mathrm{z}^{\mathrm{4}} \:+\:\mathrm{3z}^{\mathrm{3}} \:+\:\Omega\mathrm{z}^{\mathrm{2}} \:+\:\mathrm{3z}\:+\:\mathrm{1}\:=\:\mathrm{0} \\ $$
Answered by aleks041103 last updated on 27/Feb/23
$$\frac{{k}^{\mathrm{3}} −\mathrm{1}}{{k}^{\mathrm{3}} +\mathrm{1}}=\frac{\left({k}−\mathrm{1}\right)\left({k}^{\mathrm{2}} +{k}+\mathrm{1}\right)}{\left({k}+\mathrm{1}\right)\left({k}^{\mathrm{2}} −{k}+\mathrm{1}\right)} \\ $$$$\underset{{k}=\mathrm{2}} {\overset{{m}} {\prod}}\frac{{k}^{\mathrm{3}} −\mathrm{1}}{{k}^{\mathrm{3}} +\mathrm{1}}=\underset{{k}=\mathrm{2}} {\overset{{m}} {\prod}}\frac{{k}−\mathrm{1}}{{k}+\mathrm{1}}\underset{{k}=\mathrm{2}} {\overset{{m}} {\prod}}\frac{{k}^{\mathrm{2}} +{k}+\mathrm{1}}{{k}^{\mathrm{2}} −{k}+\mathrm{1}} \\ $$$$\underset{{k}=\mathrm{2}} {\overset{{m}} {\prod}}\frac{{k}^{\mathrm{2}} +{k}+\mathrm{1}}{{k}^{\mathrm{2}} −{k}+\mathrm{1}}\:=\:\frac{\underset{{k}=\mathrm{2}} {\overset{{m}} {\prod}}{k}^{\mathrm{2}} +{k}+\mathrm{1}}{\underset{{k}=\mathrm{2}} {\overset{{m}} {\prod}}{k}^{\mathrm{2}} −{k}+\mathrm{1}}\:= \\ $$$$=\frac{\underset{{k}=\mathrm{2}} {\overset{{m}} {\prod}}{k}^{\mathrm{2}} +{k}+\mathrm{1}}{\underset{{k}=\mathrm{2}} {\overset{{m}} {\prod}}\left({k}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} +\left({k}−\mathrm{1}\right)+\mathrm{1}}= \\ $$$$=\frac{\underset{{k}=\mathrm{2}} {\overset{{m}} {\prod}}{k}^{\mathrm{2}} +{k}+\mathrm{1}}{\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{m}−\mathrm{1}} {\prod}}{k}^{\mathrm{2}} +{k}+\mathrm{1}}=\frac{{m}^{\mathrm{2}} +{m}+\mathrm{1}}{\mathrm{3}} \\ $$$$\underset{{k}=\mathrm{2}} {\overset{{m}} {\prod}}\frac{{k}−\mathrm{1}}{{k}+\mathrm{1}}=\underset{{k}=\mathrm{2}} {\overset{{m}} {\prod}}\frac{{k}−\mathrm{1}}{{k}}\underset{{k}=\mathrm{2}} {\overset{{m}} {\prod}}\frac{{k}}{{k}+\mathrm{1}}= \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{{m}}\:\frac{\mathrm{2}}{{m}+\mathrm{1}}=\frac{\mathrm{2}}{{m}\left({m}+\mathrm{1}\right)} \\ $$$$\underset{{k}=\mathrm{2}} {\overset{{m}} {\prod}}\frac{{k}^{\mathrm{3}} −\mathrm{1}}{{k}^{\mathrm{3}} +\mathrm{1}}=\frac{\mathrm{2}\left({m}^{\mathrm{2}} +{m}+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{3}{m}\left({m}+\mathrm{1}\right)} \\ $$$$\Rightarrow\underset{{k}=\mathrm{2}} {\overset{\infty} {\prod}}\frac{{k}^{\mathrm{3}} −\mathrm{1}}{{k}^{\mathrm{3}} +\mathrm{1}}=\underset{{m}\rightarrow\infty} {{lim}}\frac{\mathrm{2}\left({m}^{\mathrm{2}} +{m}+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{3}{m}\left({m}+\mathrm{1}\right)}=\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}} \\ $$$$\Rightarrow\Omega=\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\left(\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}\right)^{{n}} =\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}\underset{{n}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\left(\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}\right)^{{n}} = \\ $$$$=\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}}=\mathrm{2} \\ $$$${z}^{\mathrm{4}} +\mathrm{3}{z}^{\mathrm{3}} +\Omega{z}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}{z}+\mathrm{1}=\mathrm{0} \\ $$$${z}^{\mathrm{4}} +\mathrm{3}{z}^{\mathrm{3}} +\mathrm{2}{z}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}{z}+\mathrm{1}=\mathrm{0} \\ $$$${z}=\mathrm{0}\Rightarrow{not}\:{sol}. \\ $$$${z}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}{z}+\mathrm{2}+\mathrm{3}\frac{\mathrm{1}}{{z}}+\frac{\mathrm{1}}{{z}^{\mathrm{2}} }=\mathrm{0} \\ $$$${w}={z}+\frac{\mathrm{1}}{{z}}\Rightarrow{w}^{\mathrm{2}} =\mathrm{2}+{z}^{\mathrm{2}} +\frac{\mathrm{1}}{{z}^{\mathrm{2}} }\Rightarrow{z}^{\mathrm{2}} +\frac{\mathrm{1}}{{z}^{\mathrm{2}} }={w}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2} \\ $$$${w}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}+\mathrm{3}{w}+\mathrm{2}=\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow{w}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}{w}=\mathrm{0}\Rightarrow{w}=\mathrm{0};−\mathrm{3} \\ $$$$\Rightarrow{z}+\frac{\mathrm{1}}{{z}}=\mathrm{0}\Rightarrow{z}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}=\mathrm{0}\Rightarrow{z}_{\mathrm{1},\mathrm{2}} =\pm{i} \\ $$$${z}+\frac{\mathrm{1}}{{z}}=−\mathrm{3}\Rightarrow{z}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}{z}+\mathrm{1}=\mathrm{0}\Rightarrow{z}_{\mathrm{3},\mathrm{4}} =\frac{−\mathrm{3}\pm\sqrt{\mathrm{5}}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\Rightarrow{z}\in\left\{{i},−{i},\frac{\sqrt{\mathrm{5}}−\mathrm{3}}{\mathrm{2}},−\frac{\mathrm{3}+\sqrt{\mathrm{5}}}{\mathrm{2}}\right\}\:;\:\Omega=\mathrm{2} \\ $$
Commented by Shrinava last updated on 28/Feb/23
$$\mathrm{perfect}\:\mathrm{dear}\:\mathrm{professor}\:\mathrm{thank}\:\mathrm{you} \\ $$